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Stylar (Stylar)
Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Mai, 2005 - 14:44: | 
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Hallo!
Ich hocke hier über einer Aufgabe und komm noch nicht so wirklich weiter.
Zeige: Für alle (x_0,y_0) aus R² existiert genau eine (auf ganz R definierte!) Lsg y:R->R der DGL
ye^x+(e^x+e^y)y'=0 mit y(x_0)=y_0.
Hinweis: Die Umkehrfunktion x(y) der gesuchten Fkt y läßt sich leicht angeben. Diskutiere das Abbildungsverhalten von x(y) um zu zeigen, dass y auf ganz R definiert ist.
So, also ich hab mal einfach rumprobiert und hoffe, es ist nicht völliger Blödsinn dabei rumgekommen...
also die DGL umgeformt lautet
y=-y'-e^y*(y'/e^x)
Wenn ich die Umkehrung bilde, erhalte ich zuerst
x=-x'-e^x*(x'/e^y), oder?! Das gilt für e^y ungleich 0, was auf R der Fall ist.
Dann forme ich weiter um und erhalte schließlich
e^y=(-xe^x)/(x+x'), und da e^y ungleich 0, wende ich ln an und komme zu y=ln((-xe^x)/(x+x')), also ist y auf ganz R definiert.
Ist der Ansatz so richtig? Wie folgere ich weiter?
Schönen Dank für jegliche Hilfe ;-) |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1033
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Mai, 2005 - 16:48: |
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Stylar,
Hinweis:
Die gegebene Dgl. ist exakt, die Lösung lautet
in impliziter Form
yex + ey = C
mfG Orion
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