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Stefan24351
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 10:01: |
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Hallo Leute! Ich habe da ne Aufgabe, die recht simpel klingt, mich aber dennoch zur Verzweiflung bringt. Vielleicht könnt ihr die lösen oder habt coole Tipps, wäre echt sehr nett! Es sei I aus IR ein Intervall und u und v von I nach IR stetig diffbare Funktionen mit v nullstellenfrei auf I. Zu zeigen ist, dass es eindeutig bestimmte Funktionen g und h von I nach IR gibt, so dass die Menge (u+kv, k aus IR) gleich der Menge aller Lösungen der DGL y´+gy=h ist. Vielen Dank schon mal, Grüße Stefan |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1030 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 15:09: |
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Stefan, Hinweis: u,v sind also gegeben, gesucht sind g,h so, dass die Lösungsmenge L der Differentialgleichung (Dgl.) (1) y' + gy = h gleich der Menge M:= {u+kv | keR} ist. Setze g := - v'/v <=> v'+gv=0 v ist also eine Lösung der zu (1) gehörigen homogenen Dgl. y'+gy=0. Setze weiter h:= v*(d/dx)(u/v) = (u'v-v'u)/v = u'+gu. Somit ist u eine partikulÃ?re Lösung der inhomogenen Dgl. (1). Dann ist bekanntlich L = M. (Beitrag nachträglich am 27., Mai. 2005 von orion editiert) mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1031 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 15:42: |
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Fortsetzung: Oben wurde die Existenz des Funktionenpaares (g,h) gezeigt. Nachweis der Eindeutigkeit : Die Funktion y = u+kv soll für a l l e keR die Dgl. (1), d.h. (u'+gu) + k(v'+gv) = h erfüllen. Speziell soll dies also für k=0 und k=1 der Fall sein. Das ergibt (2) u'+gu = h und u'+gu+v'+gv = h <=> h+v'+gv=h <=> v'+gv=0 Dadurch ist v bis auf eine multiplikative Konstante und daher g = - v'/v eindeutig bestimmt. Wegen (2) gilt dies dann auch für h. mfG Orion
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Stefan24351
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Mai, 2005 - 08:06: |
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Hey Orion, megavielen Dank fÜr deine LÜsung, hast mir echt sehr geholfen, wenn man die LÜsung sieht, versteht man es auch, aber man muss natÜrlich erst mal drauf kommen ;-) vielen Dank nochmal. GruÜ Stefan |
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