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Eindeutige Funktionen

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Stefan24351
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 10:01:   Beitrag drucken

Hallo Leute!
Ich habe da ne Aufgabe, die recht simpel klingt, mich aber dennoch zur Verzweiflung bringt.

Vielleicht könnt ihr die lösen oder habt coole Tipps, wäre echt sehr nett!

Es sei I aus IR ein Intervall und u und v von I nach IR stetig diffbare Funktionen mit v nullstellenfrei auf I. Zu zeigen ist, dass es eindeutig bestimmte Funktionen g und h von I nach IR gibt, so dass die Menge (u+kv, k aus IR) gleich der Menge aller Lösungen der DGL y´+gy=h ist.

Vielen Dank schon mal,
Grüße Stefan
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1030
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 15:09:   Beitrag drucken

Stefan,

Hinweis: u,v sind also gegeben, gesucht sind g,h so, dass die Lösungsmenge L der Differentialgleichung
(Dgl.)

(1) y' + gy = h

gleich der Menge

M:= {u+kv | keR}

ist.

Setze g := - v'/v <=> v'+gv=0

v ist also eine Lösung der zu (1) gehörigen homogenen Dgl. y'+gy=0. Setze weiter

h:= v*(d/dx)(u/v) = (u'v-v'u)/v = u'+gu.

Somit ist u eine partikulÃ?re Lösung der inhomogenen
Dgl. (1). Dann ist bekanntlich L = M.

(Beitrag nachträglich am 27., Mai. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Mai, 2005 - 15:42:   Beitrag drucken

Fortsetzung:

Oben wurde die Existenz des Funktionenpaares (g,h)
gezeigt.

Nachweis der Eindeutigkeit :

Die Funktion y = u+kv soll für a l l e keR
die Dgl. (1), d.h.

(u'+gu) + k(v'+gv) = h

erfüllen. Speziell soll dies also für k=0 und k=1
der Fall sein. Das ergibt

(2) u'+gu = h

und

u'+gu+v'+gv = h <=> h+v'+gv=h <=> v'+gv=0

Dadurch ist v bis auf eine multiplikative Konstante und daher g = - v'/v eindeutig bestimmt. Wegen (2)
gilt dies dann auch für h.
mfG Orion
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Stefan24351
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. Mai, 2005 - 08:06:   Beitrag drucken

Hey Orion,

megavielen Dank fÜr deine LÜsung, hast mir echt sehr geholfen, wenn man die LÜsung sieht, versteht man es auch, aber man muss natÜrlich erst mal drauf kommen ;-) vielen Dank nochmal.
GruÜ Stefan

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