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Konvergenz von (1-1/n)^n

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Kai
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 17:24:   Beitrag drucken

Hallo!
Kann mir jemand von euch zeigen, wie ich den Grenzwert der Folge (1-1/n)^n, oder anders geschrieben ((n-1)/n)^n berechne?
Danke.
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1757
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 18:08:   Beitrag drucken

Hi,

zeige an ist monoton steigend und ,dass an nach oben beschränkt ist!

Dann gibts den Satz: an beschränkt & monoton => an konvergent!

Der Grenzwert ist das inverse der Eulerschen Zahl e, und ich glaube das ist einfach Definition.

mfg

(Beitrag nachträglich am 20., April. 2005 von tl198 editiert)
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 22:31:   Beitrag drucken

Hi,

wenn du die Tayloreihe von ln(1-x) kennst ist es sehr einfach:
ln[(1-1/n)^n]=n*ln(1-1/n)=-n*[1/n + 1/(2*n^2) + ...]
=-1 - 1/(2*n) - ... --> -1 fuer n gegen oo, also ist der gesuchte Grenzwert 1/e.
Falls du e als Grenzwert von (1+1/n)^n kennst ist es auch einfach, setze n+1 f�r n ein und bilde den Kehrwert:
1/(1-1/(n+1))^(n+1) = 1/[n/(n+1)]^(n+1) = (1+1/n)^(n+1) = (1+1/n)^n * (1+1/n) --> e * 1

sotux

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