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Danielos (Danielos)
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Neues Mitglied
Benutzername: Danielos

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2005
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 21:26:   Beitrag drucken

Hallo allerseits.
Hab 2 Fragen wo ich nicht weiter komme, wär nett wenn ihr mir helft.

(1)
Es sei P die Menge der Primzahlen, und es sei
(P)
(N u (0)) die Menge v:P -> N u (0), derart dass v(p)=0 für fast alle p element P gilt. Man
(P)
zeige, dass die Abbildung g:N -> (N u (0)),
g(n)(p) = vp(n), eine Bijektion ist.

(2)
Es sei Wurzel aus -5:= a. Es sei a element C. a sei eine fest gewählte Wurzel von -5. Man mache sich klar, dass die Teilmenge R = Z+Za c C ein Teilring von C ist. Man betrachte die Gleichung
6= 2*3 = (1+a)*(1-a) und zeige, dass die Elemente 2,3,1+a,1-a irreduzibel und paarweise nicht assoziert sind.Dazu zeige man zunächst, dass
x
R = (1,-1) ist, indem man für ein Element
x = k + ba element R das Quadrat seiner Norm
IxI hoch 2 = k*k +5b*b betrachte.
Handelt es sich bei diesen Elementen um Primelemente??????????
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 996
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 09:15:   Beitrag drucken

Danielos,

(2) Hinweis:

Dass R einRing ist, rechnet man einfach nach. Für das
Weitere ist entscheidend der Begriff der Normfunktion
N : R ® N : Wenn a = u+va , so ist

N(a) := u2 + 5 v2.

Es gilt dann der Normenproduktsatz (nachrechnen !):

N(ab)=N(a)N(b)

Es ist somit

N(2)=4, N(3)=9, N(1+a)=N(1-a)=6

Wäre nun z.B. u+va in R ein echter Teiler von 2, so
müsste N(u+va) ein echter Teiler von N(2)=4 sein,
also

u2+5v2 = 2

man sieht leicht ein, dass diese Gleichung in Z
unlösbar ist. Analog zeigt man, dass 3 1+a,1-a
ebenfalls unzerlegbar in R sind. Also gilt in R nicht
der Satz von der eindeutigen Primzerlegung, denn
6 besitzt 2 verschiedene solche Zerlegungen.
mfG Orion

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