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Danielos (Danielos)
Neues Mitglied Benutzername: Danielos
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 04-2005
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 21:26: |
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Hallo allerseits. Hab 2 Fragen wo ich nicht weiter komme, wär nett wenn ihr mir helft. (1) Es sei P die Menge der Primzahlen, und es sei (P) (N u (0)) die Menge v:P -> N u (0), derart dass v(p)=0 für fast alle p element P gilt. Man (P) zeige, dass die Abbildung g:N -> (N u (0)), g(n)(p) = vp(n), eine Bijektion ist. (2) Es sei Wurzel aus -5:= a. Es sei a element C. a sei eine fest gewählte Wurzel von -5. Man mache sich klar, dass die Teilmenge R = Z+Za c C ein Teilring von C ist. Man betrachte die Gleichung 6= 2*3 = (1+a)*(1-a) und zeige, dass die Elemente 2,3,1+a,1-a irreduzibel und paarweise nicht assoziert sind.Dazu zeige man zunächst, dass x R = (1,-1) ist, indem man für ein Element x = k + ba element R das Quadrat seiner Norm IxI hoch 2 = k*k +5b*b betrachte. Handelt es sich bei diesen Elementen um Primelemente?????????? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 996 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 09:15: |
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Danielos, (2) Hinweis: Dass R einRing ist, rechnet man einfach nach. Für das Weitere ist entscheidend der Begriff der Normfunktion N : R ® N : Wenn a = u+va , so ist N(a) := u2 + 5 v2. Es gilt dann der Normenproduktsatz (nachrechnen !): N(ab)=N(a)N(b) Es ist somit N(2)=4, N(3)=9, N(1+a)=N(1-a)=6 Wäre nun z.B. u+va in R ein echter Teiler von 2, so müsste N(u+va) ein echter Teiler von N(2)=4 sein, also u2+5v2 = 2 man sieht leicht ein, dass diese Gleichung in Z unlösbar ist. Analog zeigt man, dass 3 1+a,1-a ebenfalls unzerlegbar in R sind. Also gilt in R nicht der Satz von der eindeutigen Primzerlegung, denn 6 besitzt 2 verschiedene solche Zerlegungen. mfG Orion
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