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Unter -und Oberintegrale

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Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 13:38:   Beitrag drucken

Schönen Tag euch allen,

wir haben ein neues Thema eingeführt (Riemann-Integral). Ich komme mit folgendem Aufgabentyp nicht zurecht, weil mir die Erklärungen so abstrakt sind...und keinen Rechenbeispiele vorhanden.

Eine lautet z.b. :
Finde die Unter -und Oberintegrale für die Funktion
f(x) = { x , wenn x rational ist
{0, wenn x irrational ist }
auf dem Intervall [0,b].

Vielen Dank!

(Beitrag nachträglich am 16., April. 2005 von merci editiert)
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 568
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 20:01:   Beitrag drucken

Hi,

beim Riemannintegral wird der x-Bereich unterteilt und dann in jedem Teilabschnitt nachgesehen, in welchen Bereich dort die Funktionswerte schwanken, das liefert dann gewichtet und aufsummiert die Unter- und Obersummen. In deinem Beispiel sind die Obersummen die gleichen wie bei der Identität, während die Untersummen alle 0 bleiben, da sowohl Q als auch R-Q dicht sind. Als Grenzwert der Obersummen bekommst du folglich b^2/2, als Unterintegral 0, d.h. die Funktion ist nicht riemannintegrierbar.

sotux
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 10:28:   Beitrag drucken

Danke f�r die Hilfe!

Brauche ich die Grenzwerte b^2/2 und beim Unterintegral 0 nur um zu zeigen dass f nicht riemannintegrierbar ist?
Wie kommt man auf den Grenzwert b^2/2 eigentlich?
Kann das nicht so nachrechnen.

Und woran siehst du das, dass die Obersummen die gleichen sind wie die Identit�t und die Untersummen 0 bleiben?

Aber vielen Dank f�r die Antwort!!!
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 569
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 19:13:   Beitrag drucken

Hi,

zur letzten Frage: Bei den Ober- und Untersummen geht es um die größten und kleinsten Werte der Funktion in einem kleinen Teilintervall. In jedem solchen Intervall liegen rationale und irrationale x-Werte, also ist das Minimum der Funktion im Intervall [x0,x1] immer 0 (der Funktionswert an den rationalen Stellen) und das Maximum immer x1 wegen der irrationalen Stellen(eigentlich muss man Supremum sagen, weil x1 ja rational sein kann). Man hat bezüglich der Obersummen also den gleichen Fall wie bei g(x)=x. Das ist aber eine einfache Polynomfunktion und hat die Stammfunktion 1/2*x^2, also ist das bestimmte Integral von 0 nach b über g (und f) gerade 1/2*b^2. Wenn du das noch nicht weisst musst du allerdings den mühsamen Weg gehen, die Obersummen z.B. für die äquidistanten Zerlegungen tatsächlich auszurechnen und den Grenzübergang zu machen. Dann hast du die Obersumme b/n*(1+2+...+n)*b/n und musst für den Klammerausdruck die bekannte Formel n*(n+1)/2 einsetzen.

sotux
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 20:47:   Beitrag drucken

Danke f�r die Erl�uterung!!

Ich kann mir da jetzt mehr vorstellen, also ist nicht mehr so durcheinander.

1.
Also ist das Oberintegral f(x)=1/2*b^2 und das Unterintegral f(x)=0 ? Oder muss man das anders ausdr�cken?

2.
Und wenn ich zeigen will, dass f nicht Riemann-integrabel ist auf dem Intervall [b,0], sehe ich das ja an den beiden Funktionen der Ober und Unterintegrale.
Folgt das in dem Fall aus den beiden Funktionen, weil sie nicht gleich sind? also 1/2*b^2 ungleich 0 ?

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