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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1740
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:03: | 
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Hi,
habe bis jetzt für fast jede "bekannte" Funktion die Stetigkeit mit e-d bewiesen. Nur hier haperts:
f(x)=ex
Sei x0 € IR beliebig, zZ: " e>0 ex. d>0 "x: |x-x0|< d Þ |f(x)-f(x0)|< e
Sei e>0 und x0 beliebig gegeben:
|f(x)-f(x0)|=|ex-ex0|=ex0*|ex-x0 - 1|
Hat jemand eine gute Abschätzung für den letzten Term, so das ich d in Abhängigkeit von e und x0 wählen kann?? Habe bis jetzt keine gefunden.
mfg |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:33: |
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Probiers mal mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
e^x = 1 +x +x^2/2 +x^3/3! + ...
Die 1 fällt dann weg und du hast
d + d^2/2 + ... ,
was, da d klein, locker mit 2d nach oben abgeschätzt werden kann.
Gruß Dörrby |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 984
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:42: |
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Hallo,
Hinweis: Bekannt ist der Grenzwert
limh®0 (eh-1)/h = 1
Bedenke z.B. dass für u > 0, u ‡ 1
1 -1/u < ln u < u-1 .
Setze darin u = eh und stelle um =>
1 < (eh - 1)/h < eh ( h > 0 )
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1741
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:54: |
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Hi,
du schlägst also vor:
Da d>0, müssen wir d nach oben beschränken, s.d.:
S¥ n=2 dn/(n!) < d
Dann gilt:
|f(x)-f(x0)|=ex0*|S¥ n=1(x-x0)n/(n!)| < ex0*|S¥ n=1dn/(n!)|
Dann nach deiner Überlegung:
ex0*|S¥ n=1dn/(n!)|< ex0*|2*d|
Wähle also zu e>0: d=e/(2*ex0)
Das sieht ja alles schön aus! Nur geht das so? Wie muss man dann d nach oben beschränken? Man müsste glaube ich am Ende bei der Wahl von d eine Wahl delta=min(..) treffen...
Auch andere Abschätzungen sind willkommen!
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1296
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 15:10: |
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Ferdi,
deine Quantoren sind oben falsch ist dir bewusst oder?? :-)
du kennst mich ja, da bin ich pingelig...
LOL |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1742
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:11: |
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Hi,
@Orion: Ich sehe jetzt nicht direkt, wie ich die Ungleichung nutzen kann, um abzuschätzen und dadurch das d zu wählen. Mir ist die Ungleichung bekannt, aber ich hatte sie hier nicht im Plan. Sie gilt ja nur für h>0, aber ich brauche doch auch h<0. Wenn ich nämlich x0=0 wähle, dann ist in der d-Umgebeung von 0, auch z.B. -d/2<0!
@Niels:
Ich wüsste jetzt nicht was ich falsch gemacht habe, ausser vielleicht ein paar Klammern, und zu sagen woher das x kommt, aber sonst sehe ich keinen Fehler.
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1297
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:20: |
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Hi Ferdi,
lies mal genauer was da steht...
was du da in Quantoren hingeschrieben hast ist die "gleichmäßige Stetigkeit" du willst aber die "Stetigkeit" zeigen.
Bei dir hängt in der Quantorenkette das delta nichtmher von x sondern nur von Epsilon ab. Also musst du den Existenzquantor vom Delta und den All Quantor vom x "vertauschen"...
ist klar?... |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1762
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:38: |
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Hallo Niels und Ferdi
Irgendwie sehe ich nicht, was an der Quantorenkette falsch ist ;)
Da steht doch(wenn man den ersten Teil auch nochmal mit nem Quantor schreibt):
"x0€IR "e>0 ex.d>0 "x€IR: |x-x0|<d=>|f(x)-f(x0)|<e
Das "x€IR kann man vielleicht noch weglassen.
Gleichmässige Stetigkeit wäre mit der gleichen Notation:
"e>0 ex.d>0"x€IR "y€IR: |x-y|<d=>|f(x)-f(y})|<e
MfG
Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1298
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:56: |
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ach so, x und x_0 na dann geht das doch so...
LOL
sorry Ferdi habe dir unrecht getan
danke Christian |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 985
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 18:09: |
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Ferdi,
Für h>0 gilt
h < eh - 1 < h eh.
Wenn h < 0 d.h. h = - |h| , so wird daraus
|h| eh < |eh - 1| < |h|
Für |h| < 1 gilt daher z.B immer
|eh - 1| < 3 |h|
Damit also
|f(x)-f(x0| < e wird, genügt es,
ex0*3*|x-x0| < e
zu machen, d.h.
d = (1/3)ee-x0
leistet das Verlangte.
Zur Formulierung: Es heisst "Zu g e g e b n e m er e x i s t i e r t ein d , sodass...".
Man w ä h l t also das e und
b e s t i m m t dazu ein passendes d.
(Beitrag nachträglich am 11., März. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1743
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 18:42: |
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Ok!
Danke Orion!!
Damit sind alle Beweise fertig.
@Niels: Kein Problem!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1747
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 20:32: |
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Hi,
falls es noch jemanden interessiert,
ich habe mal die Ungleichung:
S¥ n=2 dn/(n!) < d
gelöst.
Die Summe habe ich dazu zu ed-1-d umgeschrieben, die Ungleichung wird
zu: ed-2d-1<0
Sie ist wahr für 0 < d < ~1,25, d.h. d € (0 , 5/4).
Nur zur vollständigkeit. Man kann also mein erste Abschätzung wählen, wenn d aus diesem Intervall stammt! Obwohl ja wirklich d = 1.1 wohl eher uninteresant ist!
mfg |
