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j^2 q^j (Reihe) konvergiert gegen?...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » j^2 q^j (Reihe) konvergiert gegen? « Zurück Vor »

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Esther
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 10:22:   Beitrag drucken

Hallo, was ist SUM (j=1 bis unendlich) j^2 q^j?
wobei 0<q<1.

Würde mir sehr helfen (um eine Varianz auszurechnen).

Esther
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2661
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 11:24:   Beitrag drucken

q*(q+1)/(q-1)³
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1132
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 13:10:   Beitrag drucken

1^2 * q + 2^2 * q^2 + 3^2 * q^3 + 4^2 * q^4 + 5^2 * q^5 + ....

mal q = 1/2 testen

1/2 + 1 + 3^2/8 + 4^2/16 + 5^2/32 + 6^2/64 + 7^2/128 + 8^2/256 + ....

1/2 * (1/2+1)/(1/2-1)^2 = 3/4 * 4 = 3

da kann was nicht stimmen, die ersten 4 Reihenglieder ergeben schon eine Partialsumme, welche größer ist ...

ich plädiere für divergent
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Esther
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 13:28:   Beitrag drucken

Danke, hat mir sehr geholfen! Ich habe mal ein paar Werte ausgrechnet.
Für p=1/2 konvergiert die Summe gegen 6, deine Formel ergibt -6. Für p=1/5 geht die Summe gegen 15/32, die Formel liefert wieder das gleiche, nur negativ, usw. Aber das ist ja jetzt nicht das Problem, das - wegzubekommen :-)

(hast im Nenner (q-1)³ mit (1-q)³ vertauscht, oder?)
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1133
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 13:35:   Beitrag drucken

ach Menschenskinder, ich hab 'ne 2 statt 'ner 3 als Exponent gelesen
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2662
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 13:41:   Beitrag drucken

@Esther: ja, Vorzeichen vergessen
-q*(q+1)/(q-1)3
sorry
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4772
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 13:53:   Beitrag drucken

Hi Friedrich



Mich würde eine Herleitung dieses Resultats
ab ovo interessieren,damit ich die schöne Aufgabe archivieren kann.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2665
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 14:29:   Beitrag drucken

@Megamath:
ich glaube nicht, daß sie Dir unbekannt ist :-)
Durch n-maligen Differenzieren nach q
erhält man erhält man aus der Summenformel für
die geometrische Reihe alles nötige für die
Summanden (j^n*q^j); ist etwas mühsehlig, hab's
daher CAS machen lassen.
Versuch's halt auch ohne.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4773
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 14:57:   Beitrag drucken

Hi Friedrich



Als Mittel zum Zweck ist die Verwendung eines
CAS schon angebracht;ansonsten sollten wir aber die Studierenden nicht dazu animieren,
den bequemen Königsweg zu wählen,statt Mathematik zu
betreiben.

Natürlich weiss ich aus Erfahrung,wie hier zu agieren ist.
Ich meinte nur,Du hättest mir die Arbeit schon abgenommen
und wollte davon profitieren.

Du verstehst sicher meine Bitte,nach Möglichkeit Mathematisches gründlich zu erklären
und nicht Cas - Anwendungen zu zeigen.
Ich plädiere für Zurückhaltung beim Einsatz der Letzterem.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 975
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 15:06:   Beitrag drucken

Hallo,

Vorschlag: Setze

Sr(q) := S¥ k=1 kr qk.

Dann ist

S0(q) = q/(1-q),

ferner erhalten wir wegen

kr - (k-1)r =

Sr-1 i=0 (-1)r-i+1 binom(r,i) ki

die Rekursionsformel

(1-q)Sr(q) =

Sr-1 i=0 (-1)r-i+1 binom(r,i) Si(q)

Daraus

S1(q) = q/(1-q)2 ,

S2(q) = q(q+1)/(1-q)3,

etc.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4774
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 15:10:   Beitrag drucken

Hi Orion



Ich habe Deinen Beitrag herbeigewünscht!
Danke!
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4775
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 15:15:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ich bin von einem Leser des Forums gefragt worden, was denn "ab ovo" bedeute.
Hier eine Antwort von Google:

ab ovo


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Sentenzen

ab ovo,

"vom Ei aus", d. h. von den ersten und entlegensten Anfängen an (etwas erzählen);

Horaz, de arte poetica 147.

Gegenstück dazu (Vers 148) in medias res: "mitten in die Dinge" (den Zuhörer versetzen).

Das Ei als erster Anfang, auf das Horaz anspielt, ist das von Leda geborene, aus dem Helena entschlüpfte; den um diese geführten troischen Krieg solle man nicht "von diesem Ei an" schildern. -

Nach anderer Erklärung zu

"ab ovo usque ad mala" (Horaz, Satiren I, 3, 6)

= "vom Ei bis zu den Äpfeln",

d. h. von der Vorspeise bis zum Nachtisch, vom Anfang bis zum Ende

So weit das Zitat

MfG
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2666
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 16:57:   Beitrag drucken

wie versprochen
application/pdfsumKquadratQhochK
KquadratQhochK.pdf (18.8 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2667
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 17:02:   Beitrag drucken

natürlich Fiptehler in der letzten Zeile.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4776
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 17:17:   Beitrag drucken

Hi Friedrich

Herzlichen Dank für die Berechnung samt Tipfhle,
mit denen muss man ja stets rechnen in unseren Kreisen.
Ich werde das demnächst in meiner eigens hergestellten händischen Lösung zeigen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4777
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 17:50:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hier kommt meine angekündigte Lösung, die auch ein
Anfänger verstehen kann.
Alle nötigen Konvergenzbedingungen seien a priori erfüllt,
sodass wir frohgemut differenzieren, integrieren und ad
infinitum summieren dürfen.

Es sei
a(q) = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 +………..= 1 / (1-x)
Dann gilt für die erste und zweite Ableitung:
a´(q) = 1 + 2 q + 3 q^2 + + 4 q^3 + . = 1 / (1-x)^2
a´´(q) = 2 + 2*3 q + 3 * 4 q^2 + …….. = 2 / (1 – q) ^ 3

Nun berechnen wir q * a´ :
q * a´ = q + 2 q ^2 + 3 q^3 + 4 q^4 + .
Beide Seiten leiten wir nach q ab (links: Produktregel)
a´ + q a´´ = 1 + 2^2 q + 3^2 * q^2 + 4^2 * q^3 +………..

Heureka: rechts steht die in Frage stehende Reihe.
Nach den Vorbereitungen kann die linke Seite so
geschrieben werden:
q * (1+q) / (1 –q )^3 : wir sind am Ziel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2668
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2005 - 10:00:   Beitrag drucken

der Ornung halber, und weil nicht nur die letze
Zeile des 1ten pdf falsch war
application/pdfsum j^2*q^j herleitung
KquadratQhochK.pdf (54.5 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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