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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4717
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 14:49: | 
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Hi allerseits
Es erscheint die Aufgabe LF 600.
Im Zusammenhang mit einer Berührungsaufgabe mit Kugeln
soll die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung analysiert
werden.
Die Gleichung lautete;
2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0
Welcher Flächentypus wird durch diese Gleichung dargestellt,
und welches sind die Hauptdaten der Fläche?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1725
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 21:43: |
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Hi megamath,
leider bin ich im Moment nicht im Besitz meiner Unterlagen, aber soweit hab ich es geschafft:
Die Quadrik hat keinen Mittelpunkt:
dazu löse Grad[F(u,v,w)]=0, dies wird zum LGS:
4u - 40 = 0
-2v - 2w - 2 = 0
-2v - 2w + 62 = 0
Wie man sieht stellen die beiden letzten Gleichungen zwei parallele Geraden dar, also kann das LGS keine Lösung haben!
Nun zum quadratischen Term:
2u^2 - v^2 - w^2 - 2vw
dessen Matrix lautet:
Das charakteristische Polynom dieser Matrix lautet: P(t) = (t-2)(t^2+2t)
Also lauten die Eigenwerte T1=2, T2=-2, T3=0.
Also müsste es ein hyperbolischer Zylinder sein...aber ich kanns nicht bezeugen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4720
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 13:01: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deinen Lösungsansatz, der soweit
trotz fehlender Unterlagen, richtig ist.
Das Unterfangen, eine vollständige Analyse einer Fläche
zweiter Ordnung in extenso durchzuführen, ist nicht ganz einfach,
sollte aber zur Routine werden.
Mittelpunktsfläche oder nicht ?
Diese Frage wird man früh beantworten wollen.
Deine Antwort ist richtig; es existiert kein MP.
Die drei Eigenwerte der quadratischen Form sind richtig
ess sind die Zahlen 2,-2,0
Ich empfehle nun, dazu die Eigenvektoren zu ermitteln und die
entsprechende orthogonale Koordinatentransformation durchzuführen.
Dann wird, nach einer Translation, einiges durchschaubar.
Wir könnten uns dann gegebenenfalls auf einen Flächentyp einigen!
Inzwischen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1726
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 14:20: |
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Hi megamath,
leider habe ich nicht soviel Zeit, aber die Eigenvektoren habe ich noch auf dem Zettel stehen:
zum EW 0 ist ein EV : (0,1,1)
zum EW 2 ist ein EV : (1,0,0)
zum EW -2 ist eine EV: (0,-1,1)
Vielleicht übernimt jetzt einer! Ich wünsche allen einen guten Rutsch ins neue Jahr!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4721
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 17:11: |
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Hi Ferdi
Für den Eigenwert 2 habe ich denselben Eigenvektor.
Die Eigenvektoren der beiden andern Eigenwerte
sollten bei Dir vertauscht werden, habe ich Recht?
Mit freundlichen Grüßen
H-R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1727
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 21:38: |
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Hi megamath,
du hast recht, hab auf die schnelle sogar den Fehler gefunden! Man erkennt ihn an der von mir angegebenen Matrix, sie muss richtig lauten:
Ich habe zwei Minus unterschlagen!
==>
zum EW 0 ist ein EV (0,-1,1)
zum EW -2 ist ein EV (0,1,1)
Das reicht für mich dieses Jahr. Mein Kopf nimmt erst nächste Jahr wieder Informationen auf  !
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4722
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 08:06: |
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Hi allerseits
Die den drei Eigenwerten
L1 = 2, L2 = - 2, L3 = 0 zugeordneten Eigenvektoren
lauten:
E1 = {1,0,0},E2={0;1:1],E3 ={0;-1;1}
Wir benötigen die entsprechenden Einheitsvektoren
die normierten EW:
e1 = E1 = {1,0,0}
e2= 1/sqrt(2))*{0;1:1},
e3 = 1/sqrt(2)*{0;-1;1}
Setzt man zur Abkürzung 1/sqrt(2) = m,
so entsteht die folgende, zeilenweise zu lesende
(3,3) – Transformationsmatrix:
T =matrix([[1,0,0],[0,m,-m],[0,m,m]])
Die Spaltevektoren der Matrix sind der Reihe nach
die Vektoren e1,e2,e3.
Wie man sofort erkennt, ist T, wie es sein muss, eine
orthogonale Matrix.
Wir drücken mit Hilfe der Matrix T die alten Koordinaten
u,v,w durch die neuen Koordinaten U,V,W des gedrehten
Systems aus.
Die Transformationsgleichungen lauten:
u = U
v = m V – m W
w = m V + m W
Die Gleichung von Q lautet im neuen System:
2 U^2 – 2 V^2 – 40 U + 60 m V + 64 m W + 7 = 0
Wie zu erwarten war, gibt es kein gemischtes Glied
zweiten Grades V W.
Nach wie vor ist m =1/sqrt(2).
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4723
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 15:29: |
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Hi allerseits
Wir befinden uns in einer Warteschlange und sind
gespannt auf eine Lösung der Aufgabe LF 600.
Welche Fläche kommt wohl in Frage?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1728
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Dezember, 2004 - 15:59: |
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Hi megamath,
mein letztes Angebot:
ein HYPERBOLISCHES PARABOLOID!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4724
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 07:16: |
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Hi Ferdi
In wenigen Minuten siehst du hier,dass Deine
Vorhersage richtig ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4725
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 07:18: |
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Hi allerseits
Zuletzt gelangte die Fläche zweiter
Ordnung Q zu der folgenden Form ihrer Gleichung:
L1*U^2+L2*V^2+L3*z^2+2 B1 U+2 B2 V+2 B3 W = c
Die Konstanten Lj, Bj , c lauten:
L1 = 2, L2 = - 2 , L3 = 0 (das sind die Eigenwerte)
B1 = - 20 , B2 = 30 m, B3 = 32 m mit m = 1/sqrt(2).
c= -7
Wir werfen nochmals die Frage nach einem Mittelpunkt
der Fläche auf.
Dazu müssen nach der einschlägigen Theorie die
Mittelpunktskoordinaten U,V,W aus dem folgenden
Gleichungssystem ermittelt werden:
L1 U……………………. + B1 = 0
……… L2 V …………… + B2 = 0
………………..L3 W…..+ B3 = 0
Im vorliegenden Fall sollte gelten:
2 U – 20 = 0
-2 V + 30 m = 0
0 W + 32 m =0
Die letzte Gleichung enthält einen Widerspruch,
somit gibt es KEINEN Mittelpunkt!
Für weitere Untersuchungen sind die folgenden
beiden Matrizen A und B nützlich:
Die quadratische Matrix
A:= matrix ([[L1,0.0],[0,L2,0],[0,0,L3]])
Die (3,4)-Matrix
B:= matrix ([[L1,0.0,B1],[0,L2,0,B2],[0,0,L3,B3]])
Wesentlich für die Analyse sind die Ränge dieser Matrizen.
r1 sei der Rang der Matrix A, r2 der Rang der Matrix B.
Es gelten die Sätze:
1.
Wenn r1 = r2, so ist (mindestens) ein Mittelpunkt vorhanden.
2.
Sind r1 und r2 verschieden, so hat die Fläche keinen Mittelpunkt
Unterfälle dazu:
2a
Gilt r1 = 2 und r2 = 3, so liegt,
je nach der Vorzeichenkombination bei den Eigenwerten,
ein elliptisches Paraboloid oder ein hyperbolisches Paraboloid
vor.
2b
Gilt r1 = 1 und r2 = 2, so liegt ein parabolischer Zylinder vor.
Quintessenz
Für die vorliegenden Daten stellt sich der Fall 2a ein;
es liegt ein hyperbolisches Paraboloid vor.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4726
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2005 - 21:15: |
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Hi allerseits
Die in meinem letzten Beitrag erwähnten Relationen sollen
mit den zu Grunde liegenden Daten bearbeitet werden.
Gleichung der Fläche
2 U^2 – 2 V^2 – 40 U + 60 m V + 64 m W = - 7,
mit m = 1/sqrt(2).
Die quadratische Matrix A und die (3,4)-Matrix B
lauten:
A:= matrix ([[2,0.0],[0,-2,0],[0,0,0]])
B:= matrix ([[2,0.0,-20],[0,-2,0,30 m],[0,0,0,32 m]])
Ränge dieser Matrizen sind:
r1 = Rg(A) = 2
r2 = Rg(B) = 3
Weitere Transformationen der Flächengleichung
Durch quadratische Ergänzungen entsteht aus der obigen
Version der Gleichung von Q neu:
2 (U - 10)^2 – 2 (V - 15 m)^2 + 64 m W = - 32
Wir führen ein neues Koordinatensystem X,Y,Z ein:
X = U – 10; Y = V – 15 m ; Z = W.
Diese Transformation entspricht einer Parallelverschiebung.
Wir erhalten dadurch die Gleichung
2 X^2 – 2 Y^2^2 + 64 m Z = - 32
Wir schreiben sie so um:
X^2 - Y ^2 + 32 m [Z + 1/(2m)] = 0
Wir transformieren zum guten Ende:
X = x ; Y = y ; Z + 1 / (2m) = Z + sqrt(2) = z
Als Schlusslichter erscheinen die Gleichungen
x^2 – y^2 +32 m z = 0
oder
x^2 – y^2 + 16 sqrt(2) z = 0
Dies ist unverkennbar die Gleichung eines
hyperbolischen Paraboloides.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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