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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1722
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 2004 - 12:43: | 
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Hallo,
zwischen den Feiertagen mal eine Frage:
Sei f : K[x]£n -> K[x]£n durch die zweite Ableitung gegeben.
[K[x]£n = Menge aller Polynome von Grad kleiner gleich n]
Man bestimme die Dimension des Bildes von f in den Fällen K = Q und K = F3.
also K = Q
Da haben wir dim(im(f)) = n-1, weil durch die zweite Ableitung die Terme xn und xn-1 verloren gehen. Als Basis reicht daher : ( 1,x,x2...xn-2 ) und das sind gerade n-1 Elemente!
Aber wie sieht es nun bei K = F3 aus?
Hier fallen doch deutlich mehr Elmente weg. Da z.B. (x4)'' = 12x2 = 0 , da 12 = 0 in F3. Was ist nun dim(im(f)) ?? Da muss man glaube ich irgendwie n in F3 betrachten, nur wie??
Oder stimmen meine Überlegungen zu K = Q schon nicht. Freue mich über jeden Hinweis!!
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1252
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 2004 - 15:34: |
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hi ferdi,
im F_3 gibt es ja nur die Elemente 0,1,2
wenn wir eine Monom von n>3 ableiten bekommen wir zwangsläufig davor ein Produkt 3 aufeinander folgender Zahlen (multipliziert mit einem beliebigen Koeffizienten aus)
Das Produkt 3 aufeinander folgender Zahlen ist immer durch 6 Teilbar, also auch durch 3 teilbar, und im F_3 daher Null. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1723
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 2004 - 15:59: |
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Hi Niels,
also wenn ich dich richtig verstehe, reicht also für K = F3 als Basis: {1,x,x2}, also dim(im(f)) = 3
da x3 = x , x4 = x2 etc...
Edit:
So ein quatsch, wir haben ja eh nur Polynome vom Grad £2. Wenn ich dann noch zweimal ableite komme ich ja auch den Grad 0! Also dim(im(f))=1, oder?
mfg
(Beitrag nachträglich am 27., Dezember. 2004 von tl198 editiert) |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1253
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 2004 - 17:53: |
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Hi Ferdi,
es ist oft einfacher den Kern einer linearen Abbildung zu berechnen, und dann über den Kern Bild Satz auf die Dimension des Bildes zu schließen....
Hast du das schon mal versucht?
Gruß N. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1724
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 2004 - 17:58: |
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Hm,
den Kern Bild Satz hatten wir leider noch nicht...
mfg |
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