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Konvergenz der m.f.Nullfolge a(n)...

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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 14:10:   Beitrag drucken

Also wir beschäftigen uns gerade mit der Folge a(n), die eine monoton fallende Nullfolge nicht negativer reeler Zahelen sein soll

Jetzt sollen wir zeigen dass Die Partialsumme (von n=o bis unendlich) a(n) konvergiert aber wir wiisen nicht wie und hoffen einer von euch kann uns helfen!Danke
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1659
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 14:23:   Beitrag drucken

Hallo Sarah

Deine Aussage oben stimmt nicht ganz! Wenn a(n) eine monoton fallende Nullfoge ist, dann muss die Reihe S¥ n=0 a(n) nicht konvergieren. Beispiel: a(n)=1/n. Das ist die harmonische Reihe, und die divergiert.
Was aber unter den gegebenen Voraussetzungen gilt ist, dass S¥ n=0 (-1)n*a(n) konvergiert. Das ist eine sogenannte alternierende Reihe. Man nennt den Satz das Leibnizsche Konvergenzkriterium.
Vielleicht gelingt es dir ja mit dieser Änderung den Satz zu beweisen. Sonst meld dich einfach nochmal.

MfG
Christian
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Sarah
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 12:54:   Beitrag drucken

Also genau so hört sich dat schon viel besser an und auch richtig aber beweisen kann ich das trotzdem nicht vielleicht kannst de mir noch ma helfen!Gruß sarah
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1663
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 13:43:   Beitrag drucken

Hallo Sarah

Sei a(n) eine monoton fallende Nullfolge und s(n) die n-te Partialsumme der Reihe S¥ n=0 (-1)na(n). Dann gilt:
s(2n+2)-s(2n)=a(2n+2)-a(2n+1)£0
s(2n+3)-s(2n+1)=-a(2n+3)+a(2n+2)³0
Aus s(2n+2)-s(2n+1)=a(2n+2)³0 folgt damit für alle n:
s(0)³s(2)³...³s(2n+2)³s(2n+1)³s(2n-1)³...³s(1).

Daraus folgt, dass die Folge (s(2n)) monoton fallend und durch jedes s(2m+1) mit m³0 nach unten beschränkt ist. Damit ist sie konvergent gegen einen Grenzwert s. Analog zeigt man aber auch, dass (s(2n+1)) konvergent ist mit einem Grenzwert s'.
Wegen s-s'=lim(n->¥) (s(2n+2)-s(2n+1)) =lim(n->¥) a(2n+2) = 0 folgt s=s'. Also konvergiert die Reihe
S¥ n=0 (-1)na(n)
(gegen s).

MfG
Christian

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