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Beitrag |
    
Maren
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 19:01: | 
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Hallo!
Ich hab hier ne Aufgabe, wo ich nicht weiter komme. Kann jemand helfen?
Löse das folgende LGS mittels Handrechnung:
2x-4y+2z-2w=2
2x-3y+3z-5w=4
-3x+y-5z+18w=-10
Gibt es eine spezielle Lösung des LGS, deren Komponenten alle größer oder gleich 2 sind? Wenn ja, Beispiel angeben, wenn nein, beweisen.
Wäre schön, wenn jemand Hilfe leistet!!!
MfG, Maren} |
Michel (Michel)
Junior Mitglied
Benutzername: Michel
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 2004 - 19:53: |
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Hallo Maren,
Versuche doch mal den Gauss-Algorithmus anzuwenden. Du kannst das LGS in Matrixform schreiben und dann die Matrix auf Zeilenstufenform bringen.
Dann kannst sehr gut die Lösungen bestimmen.
gruss
michel |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4653
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 13:27: |
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Hi Maren
Wenn Du den Rat von Michel befolgst, wirst Du leicht feststellen,
dass die Lösungen x, y. z , w lineare Funktionen eines
Parameters t sind, etwa so:
x = 7 t + 2
y = 3 t + 1
z = 1
w = t
Achtung:
z ist konstant = 1 für alle t, daher ist es nicht möglich,
eine spezielle Lösung der verlangten Art anzugeben.
Ich komme auf die Angelegenheit später zurück.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4654
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 14:52: |
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Hi Maren
Wir betrachten in einem Intermezzo zwei Matrizen,
die Koeffizientenmatrix A mit m = 3 Zeilen und n = 4 Spalten:
A:=matrix([[2,-4,2,-2],[2,-3,3,-5],[-3,1,-5,18]]);
und die so genannte erweiterte Koeffizientenmatrix B
mit m = 3 Zeilen und n+1= 5 Spalten:
B:=matrix([[2,-4,2,-2,2],[2,-3,3,-5,4],[-3,1,-5,18,-10]]);
n ist die Anzahl der Unbekannten, m die Anzahl der Gleichungen.
A bezieht sich auf die Koeffizienten der linken Seite des Systems,
bei B sind zusätzlich die Koeffizienten rechts beteiligt.
Wie man feststellen kann, sind die Ränge der beiden Matrizen
identisch, nämlich rang(A) =rang (B) = r = 3 [englisch: rank]
Dies bedeutet:
Das LGS ist lösbar.
Wir können mit den Zahlen n , r auch die Dimension d
des Lösungsraumes angeben.
Es gilt:
d = n – r = 4 – 3 = 1.
Dies kommt dadurch zum Ausdruck, dass genau ein
Parameter t ausreicht, um die allgemeine Lösung des Systems
zu beschreiben, wie es im letzten Beitrag geschehen ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4655
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 15:24: |
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Hi Maren
Nun spielen wir mit der Matrix
B:=matrix([[2,-4,2,-2,2],[2,-3,3,-5,4],[-3,1,-5,18,-10]])
nonchalant herum:
neue zweite Zeile
als Differenz der zweiten minus der ersten Zeile.
neue dritte Zeile
als Summe der zweiten plusder des 1,5 –fachen
der ersten Zeile.
Zwischenergebnis
Matrix B°:
B°:=matrix([[2,-4,2,-2,2],[0,1,1,-3,2],[0,-5,-2,15,-7]])
Nun verändern wir nur noch die dritte Zeile von B°:
Wir addieren zu ihr das Fünffache der zweiten Zeile von B°.
Es entsteht B°°:
B°°:=matrix([[2,-4,2,-2,2],[0,1,1,-3,2],[0,0,3,0,3]])
Nun Schreiben wir das äquivalente LGS an (von unten nach oben):
3 z = 3
y + z – 3 w = 2
2 x – 4 y + 2 z - 2 w = 2
Setze z = 1 und w = t, und rolle das LGS auf..
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Michel (Michel)
Junior Mitglied
Benutzername: Michel
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 18:11: |
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Hallo megamath
Dich gibt es anscheinend noch Erst vor kurzem besuche ich wieder das Forum hier. Du hast mir während meiner Gymer-Zeit ein paar gute Aufgaben erklären können.
Danke noch für die Ausführungen!
gruss
michel |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4656
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 06:36: |
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Hi michel
Danke für die Blumen!
Positive Beurteilungen der Tätigkeit im Forum
wirken anregend und aufbauend.
Alles Gute und viel Erfolg bei Deiner weiteren
mathematischen Arbeit, auch in diesem Forum!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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