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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1677 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 10:43: |
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Hi, ich habe grade mit Induktion bewiesen, dass für das n-te Glied der Folge fn: 1,1,2,3,5,8,... also die Folge der Fibonacci Zahlen gilt: fn= {[1+sqrt(5)]/2 - [1-sqrt(5)]/2}/sqrt(5) So nun kommt die nächste Aufgabe: Man betrachte die Folge an+2=an+1+an , mit a1 = a , a2 = b! Naja, das ist ja nichts anderes als die Folge der Fibonacci Zahlen, nur mit beliebigen Startwerten, bei fn war f1 = f2 = 1! Nur wie kann ich nur mit Hilfe des Induktionsbeweises von fn auf eine Formel für beliebige Startwerte bei an kommen? Eine weitere Frage ist, für welche a und b die Folge an konvergiert! Hoffe ihr könnt mir kurz auf die Sprünge helfen! mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 914 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 14:23: |
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Hallo, Vorschlag: Die Menge aller Folgen an mit an+2=an+1 + an bildet einen reellen Vektorraum der Dimension 2. Betrachte die speziellen Folgen (Fn) mit Fn = (an - bn)/sqrt(5) (Fibonacci) und Ln = an + bn (Lucas). Hier ist a := (1+ sqrt(5))/2 , b := 1- a , und für die Lucas-Folge ist : L0 = 2 , L2 = 1 . Die Folgen (Fn) und (Ln) bilden eine Basis des genannten Vektorraumes, also gilt an = A*Fn + B*Ln. Die Koeffizienten A,B bestimmst Du leicht mittels der Anfangswerte. mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1678 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 17:06: |
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Hi Orion, die Idee ist nicht schlecht... Nur muss ich alles was noch nicht in der Vorlesung bewiesen wurde, und ich es trotzdem benutzen möchte dann selbst beweisen. Das wäre doch beim Thema Vektorraum ein wenig viel... Es muss da auch eine einfach Lösung geben, weil ja sonst der Induktionsbeweis für die Fibonacci Zahlen in Aufagbenteil a) nicht verlangt worden wäre...Bis jetzt konnte man in mehrgliedrigen Aufgaben immer Teil a) bei b) benutzen, so das b) einfach zu lösen war! Aber diesmal sehe ich keinen Weg... Mich würde auch die Konvergenzfrage interesieren, weil die Fibonacci - Folge divergiert ja..., wie es scheint finder man in N keine Zahlen, für die die Reihe konvergiert... mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 915 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 21:05: |
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Hallo, Die allgemeine Lösung der Rekursionsgleichung für an lautet wie leicht nachzurechnen (beachte dazu, dass a2 = a +1, b2 = b + 1 , ab = -1) : an = A*an + B*bn, mit reellen Konstanten A,B. Letztere sind offenbar durch die Startwerte a0,a1 (oder auch a1,a2) eindeutig bestimmt. (Gleichungssystem). Konvergenz findet statt g.d.w. A=0. Oben muss es übrigens heissen L1 = 1. mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1679 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 23:45: |
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Hi nochmal, also die Lösung der Rekursionsgleichung "einfach" nachzurechnen ist mir bis jetzt nicht gelungen. Das Gleichungssystem habe ich jetzt nach 4 Versuchen hoffentlich gelöst: Wenn a1 = a und a2 = b Dann gilt: A = [sqrt(5)*(b-a) + (3a - b)]/2*sqrt(5) B = -[sqrt(5)*(a-b) + (3a - b)]/2*sqrt(5) also für a=b=1 stimmts ja dann kommt: A = -B = 1/sqrt(5) wie beim "original" Fibonacci. Setze ich nun A = 0 so erhalte ich folgende Bedingung für die Konvergenz: b = -a*(sqrt(5) - 1)/2 D.h. doch das die Folge nicht konvergiert, da diese Relation für keine zwei natürlichen Zahlen erfüllt ist, oder? |
Isuami (Isuami)
Junior Mitglied Benutzername: Isuami
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 02-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 07:09: |
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@ti 98: so geht es einem, wenn man liest : wie man leicht nachrechnet oder wie man leicht sieht! du selbst verwendest es auch oft. In den Abhandlungen mit Megamath. Ihn habe ich übrigens höflich um einen Geometriebuch-Tipp gefragt, aber nie eine Antwort bekommen. mfG |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 916 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 08:11: |
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Hallo, Das Nachrechnen der Rekursion sollte eigentlich nicht so schwer sein : an+2 = an* a2 = an (a + 1) = an+1 + an. Dasselbe gilt für b und folglich auch für an = A*an+ B*bn (Linearität !) Dann hat man für A,B das Gleichungssystem A + B = a0 = b-a a A + b B = a1 = a zu lösen. Ich finde (rechne nach !) A = [(1+b)a-bb]/sqrt(5) B = [ab - (1+a)a]/sqrt(5) Konvergenz : Wenn a,b natürliche Zahlen sein sollen, dann gilt dies auch für alle Folgenglieder. Eine solche Folge kann nie konvergieren, es sei denn sie ist konstant Null (a=b=0). mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1680 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 09:43: |
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Hi Orion, ja deine Ergebnisse decken sich mit meinen! Ich hatte heute nacht noch eine kleine Idee und ich glaube es geht doch einfacher: Ich habe mir einfach mal ein paar Folgeglieder aufgeschreiben: a1=a , a2=b , a3=(a+b), a4=(a+2b) , a5=(2a+3b) , a6=(3a+5b) , a7=(5a+8b), a8=(8a+13b)... Man beachte die Koefizienten vor a bzw b, offenbar gilt: an+2 = fna + fn+1b [n³1] Wobei fn die Fibonacci Folge ist, wofür ich ja die Richtigkeit des n-ten Folgegliedes schon per Induktion bewiesen habe! Was hälst du von dieser Idee?? So gehts doch auch, dann muss ich jetzt nur noch per Induktion beweisen, das wenn an+2 für n=1 gilt, das dann auch der Schritt von n -> n+1 gilt... mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 917 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 10:54: |
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Hallo, Ja, in der Tat ist an = a* Fn-2 + b*Fn-1, und das gilt auch für n = 0 und n = 1, wenn man F-2 = -1 , F-1 = 1 beachtet. Der Beweis durch Induktion ist “sraightforward". mfG Orion
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