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Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 100 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 15:58: |
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Hallo, ich habe eine Aufgabe zu lösen und habe sie versucht zu lösen..ist es so richtig? und zwar, die Aufgabe lautet: Wichtig!: != ist ungleich Es seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen. Es sei g * f injektiv. Zeigen Sie, dass f injektiv ist. Folgt auch, dass g injektiv ist ? (Beweis oder Gegenbeispiel.) g * f ist injektiv --> g muss auch injektiv sein. Denn g * f ist das gleiche wie g(f(x)). Wäre f injektiv und g nicht injektiv, dann wäre f(x_1) != f(x_2) --> g(f(x_1)) != g(f(x_2)) x_1, x_2 element X: f(x_1) = f(x_2) <--> x_1 = x_2 y_1, y_2 element Y: g(y_1) = g(y_2) <--> y_1 = y_2 f(x_1) = y_1 und f(x_2) = y_2 g(f(x_1)) = g(f(x_2)) <--> f(x_1) = f(x_2, g injektiv <--> x_1 = x_2, da f injektiv
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1719 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 20:51: |
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Ne, ne! Zuerst musst du zeigen, dass f injektiv ist. Sei f(x_1) = f(x_2). (Zeige: x_1 = x_2) Da f(x_1) = f(x_2) und g eine Funktion, folgt g(f(x_1)) = g(f(x_2)). Also g*f(x_1) = g*f(x_2). Aus der Injektivität von g*f folgt nun x_1 = x_2. ------------------------------------------------- g braucht nicht injektiv zu sein! Beispiel: f(x) = e^x, g(x) = x^2. |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 101 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 21:36: |
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Vielen Dank! Kann ich es auch so machen?? g o f injektiv bedeutet: g(f(x)) != g(f(y)) für x != y Wäre f nicht injektiv, gäbe es x,y mit x != y, so dass f(x) = f(y) dann wäre aber g(f(x)) = g(f(y)) für x != y (g(a) = g(a) ist trivialerweise richtig) => Widerspruch g muss nicht injektiv sein, denn es kann ein v und w geben, so dass v != w f(x) != v für alle x aus der Definitionsmenge von f f(x) != w für alle x aus der Definitionsmenge von f g(v) = g(w) ohne, dass ein Widerspruch entsteht. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1720 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:14: |
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zu 1) Ja, das kannst du auch so machen. Ist im Prinzip dasselbe. zu 2) Das ist keine korrekte Argumentation! Wieso soll es solche v, w geben?? Bei so etwas immer ein Beispiel angeben! |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 102 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:23: |
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Achso. Du meinst dein Beispiel? Also f(x) = e^x, g(x) = x^2 ?? |
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