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g * f inkjektiv ?!

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Merci (Merci)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 15:58:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu lösen und habe sie versucht zu lösen..ist es so richtig?

und zwar, die Aufgabe lautet:

Wichtig!: != ist ungleich


Es seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen.

Es sei g * f injektiv. Zeigen Sie, dass f injektiv ist. Folgt auch, dass g injektiv ist ? (Beweis oder Gegenbeispiel.)

g * f ist injektiv --> g muss auch injektiv sein.

Denn g * f ist das gleiche wie g(f(x)).
Wäre f injektiv und g nicht injektiv, dann wäre
f(x_1) != f(x_2)
--> g(f(x_1)) != g(f(x_2))

x_1, x_2 element X: f(x_1) = f(x_2) <--> x_1 = x_2
y_1, y_2 element Y: g(y_1) = g(y_2) <--> y_1 = y_2

f(x_1) = y_1 und f(x_2) = y_2
g(f(x_1)) = g(f(x_2))
<--> f(x_1) = f(x_2, g injektiv
<--> x_1 = x_2, da f injektiv

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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1719
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 20:51:   Beitrag drucken

Ne, ne!

Zuerst musst du zeigen, dass f injektiv ist.

Sei f(x_1) = f(x_2). (Zeige: x_1 = x_2)

Da f(x_1) = f(x_2) und g eine Funktion, folgt g(f(x_1)) = g(f(x_2)).

Also g*f(x_1) = g*f(x_2).

Aus der Injektivität von g*f folgt nun x_1 = x_2.

-------------------------------------------------

g braucht nicht injektiv zu sein!

Beispiel:

f(x) = e^x, g(x) = x^2.
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Merci (Merci)
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Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 21:36:   Beitrag drucken

Vielen Dank!

Kann ich es auch so machen??

g o f injektiv bedeutet:

g(f(x)) != g(f(y)) für x != y

Wäre f nicht injektiv, gäbe es x,y mit x != y, so dass f(x) = f(y)

dann wäre aber g(f(x)) = g(f(y)) für x != y
(g(a) = g(a) ist trivialerweise richtig)
=> Widerspruch


g muss nicht injektiv sein, denn es kann ein v und w geben, so dass
v != w
f(x) != v für alle x aus der Definitionsmenge von f
f(x) != w für alle x aus der Definitionsmenge von f
g(v) = g(w)

ohne, dass ein Widerspruch entsteht.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1720
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:14:   Beitrag drucken

zu 1) Ja, das kannst du auch so machen. Ist im Prinzip dasselbe.

zu 2) Das ist keine korrekte Argumentation! Wieso soll es solche v, w geben?? Bei so etwas immer ein Beispiel angeben!
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Merci (Merci)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:23:   Beitrag drucken

Achso.

Du meinst dein Beispiel? Also f(x) = e^x, g(x) = x^2 ??

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