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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4318
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 13:51: | 
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Hi allerseits
Als Abwechslung erscheint mit LF 453 eine
Aufgabe zu einem ganz anderen Thema:
Eine geschlossene Kurve c ist durch die folgende Parameterdarstellung
gegeben:
x = 4 m / (3 + m^2) , y = 2 (m^2 - 3) / (3 + m^2);
für den Parameter m gilt – inf < m < inf.
a) man ermittle für c eine Gleichung der Form f(x,y) = 0
b) man weise nach, dass m die Steigung einer Sehne PQ
(mit festem Endpunkt P) der Kurve c ist;
welches sind die Endpunkte dieser Sehne?
c) man ermittle mit einem geeigneten Integral die Fläche der
geschlossenen Kurve c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1462
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 15:04: |
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Hallo Megamath
a) Setze f(x,y)=3/4*x2+1/4*y2-1
Dann gilt f(a(m))=0 , wenn a eine Parametrisierung der Kurve c ist.
Es liegt also eine Ellipse vor.
b) Wir nehmen P=a(0) als festen Endpunkt.
Weiter sei Q=a(m). Dann hat die Sehne PQ die Steigung m.
c) Hier können wir die Gleichung aus a) nehmen und ganz einfach integrieren.
Ich werde die Fläche trotzdem mal auf eine andere Weise berechnen. Man hat ja nicht immer eine explizite Darstellung einer Kurve zur Verfügung.
Wir benutzen zur Berechnung der Fläche F das Vektorfeld v definiert durch v(x,y)=1/2*(-y,x).
Das Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass
¶1v2-¶2v1=1 gilt.
Wir wenden den Satz von Green an. Dann gilt für die gesuchte Fläche F:
F=òav
=ò-¥ ¥ v(a(m))*a'(m) dm
=4*ò-¥ ¥ dm/(3+m2)
=4/sqrt(3)*p
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1553
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 16:46: |
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Hi Christian,
eine faszinierende Lösung, vorallem von c)!
Kannst du mir da mal Literaturtipps geben? Aus welchen Werken du deine profunden Kenntnisse über Vektorfelder erworben hast! Danke im Vorraus.
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1464
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 17:17: |
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Hi Ferdi
Das kam bei uns in der Vorlesung vor. Stichwort klassische Integralsätze. Ich schätze mal in den meisten Büchern über Analysis wirst du darüber was finden. Ist sowas wie eine Erweiterung des Hauptsatzes der eindimensionalen Integralrechnung.
Man wertet dort Integrale über Intervallen aus, indem man die Randpunkte betrachtet. Hier hat man Flächen und betrachtet den Rand der Flächen.
MfG
Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4319
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. August, 2004 - 10:11: |
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Hi Christian,
Ich danke Dir für Deine famose Lösung!
Ich möchte dazu noch ein paar Bemerkungen anbringen.
Bei c)
hatte ich die Absicht, die alterwürdige Sektorformel von Leibniz
einzusetzen.
Fläche A = ½ Umlaufintegral [ x y°- y x° ] dm
Dabei bedeuten
x° die Ableitung von x = x(m) nach dem Parameter m,
y° die Ableitung von y = y(m) nach dem Parameter m.
Es gilt:
x° = 4 (3 - m^2) / (3 + m^2)^2
y° = 24 m / (3 + m^2)^2
Daraus
f (m) = ½ [ x y°- y x° ] = 4 / ( 3 + m^2).
Dies ist derselbe Integrand wie bei Deiner Lösung mit Green;
das muss so sein!
Mit Hilfe der Stammfunktion
F(m) =4 / sqrt(3) * arctan (m/sqrt(3)) und den Grenzen – inf..inf
erhalten wir das erwartete Resultat
A = 4 / sqrt(3) * Pi
Dieses Resultat stimmt mit dem Produkt Pi * a * b überein;
a und b sind die Halbachsen der Ellipse, welche man
leicht aus dem Ergebnis der Teilaufgabe a ) gewinnt:
Halbachse a (die kleine) : 2/sqrt(3),
Halbachsae b (die grosse) : 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4320
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. August, 2004 - 13:14: |
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Hi Ferdi
Du findest, wie schon Christian erwähnt hat, Lehrreiches zu
den Greenschen Formeln in Lehrbüchern der Analysis,speziell
unter dem Stichwort Vektoranalysis.
Zur Einführung empfehle ich:
H.Stöcker et alteri, Analysis für Ingenieurstudenten, Band 2
Verlag Harri Deutsch
Abschnitt 6.8.: Integralsätze (Gauss. Stokes, Green)
Es folgt ein Zitat aus Google:
Die Greensche Formel
Eine der fundamentalsten Formeln ist die Formel von Stokes, die besagt, dass das Integral
einer Differentialform über dem Rand eines Gebietes gleich dem Integral des Randes der
Differentialform über das gesamte Gebiet ist (man kann ein ''Partial'' hoch- und runterziehen).
Im eindimensionalen Fall ist die Formel von Stokes gerade der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung. Die Greensche Formel, die ein Kurvenintegral 2. Art über den Rand eines
ebenen Gebietes mit einem Flächenintegral über diese Gebiet verknüpft, ist der Spezialfall
der Formel von Stokes für zwei Dimensionen. Interpretiert man das auftretende
Kurvenintegral 2. Art geeignet, so erhält man zweidimensionale Versionen eines anderen Satzes
von Stokes (Zirkulation ist gleich Integral über die Wirbeldichte) und des Satzes von
Gauss-Ostrogradsky (Fluss ist gleich Integral über die Quelldichte).
Ende Zitat!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1555
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. August, 2004 - 22:55: |
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Hi,
besten Dank für eure Hinweise! Ich werde dem mal nachgehen...
Ich möchte aber mal sagen, das ich lieber in Bücher schaue als im Internet zu suchen, da kann man böse auf die Nase fallen! Internet nutze ich wirklich als allerletztes Mittel...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4321
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 16:19: |
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Hi allerseits
Es folgt eine kleine ergänzende Aufgabe
zur Aufgabe LF 453.
a) Wie lautet die Polarkoordinatengleichung der
involvierten Ellipse, wenn als Pol des Systems
der Punkt P auf der Ellipse mit xP = 0, yP = -2
und die Ellipsentangente in P als Polarachse
benützt werden?
b) Man berechne auf Grund dieser Polarkoordinatendarstellung
nochmals die Fläche A der Ellipse.
Erwünscht ist eine ausführliche Berechnung des entsprechenden
Integrals von Hand.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1556
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 17:25: |
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Hi megamath,
darf ich die Ellipse dann noch verschieben? So dass P mit O zusammenfällt, dann wird t zur x-Achse, dann erhalte ich die Darstellung:
r = 4*sin(phi)/(3-2*sin(phi)^2)
Ansonsten wüsste ich nicht wie..., um das Integral kümmere ich mich später...
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4323
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 17:33: |
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Hi Ferdi,
Deine Polarkoordinatendarstellung ist richtig.
Go on !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1469
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 17:39: |
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Hallo Ferdi und Megamath
Das gleiche Resultat erhalte ich auch.
Bei b) muss man dann folgendes Doppelintegral berechnen. (Transformation auf Polarkoordinaten)
ò0 pò0 r(j) r dr dj
Das sollte mit der Substitution j=2*arctan(t) lösbar sein. Lösungsweg folgt noch
MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1470
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. August, 2004 - 18:41: |
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Hallo nochmal
Hat vielleicht noch jemand ne andere Methode um die Fläche zu bestimmen per Integral? Bei meinem rechnet man sich ja zu Tode ;)
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1557
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. August, 2004 - 01:06: |
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Hi,
ich habs so gemacht, hoffe das ist Ok:
Ich berechne:
A = 1/2 * int[ r^2 d(phi) ] [0..pi]
Sei phi = x
r^2 = 16*sin(x)^2 / (3 - sin(x)^2)^2
(1/2)*int[ 16*sin(x)^2 / (3 - sin(x)^2)^2 dx ]
Sei x = 2*arctan(t):
int[ {64*t^2*(1+t^2)}/(3-2*t^2+3*t^4)^2 dt ] [0..inf]
Ist dann doch nicht mehr so fein [PBZ] und Quadratfakorzerlegung von:
(3*t^4 - 2t^2 + 3)
=
3*(t^2 + sqrt(8/3)*t + 1)*(t^2 - sqrt(8/3)*t + 1)
Führt auf ein parr ekelige Integrale, wenn ich mich nicht verrechnet habe, heben sich die ln-Terme auf, die Brüche laufen für t->inf gegen 0, und arctan gegen pi/2 für t->inf! Man erhält schliesslich, wie erwartet:
A = int = 4/sqrt(3)*pi
Zu Kontrollzwecken, könnte ich meine Stammfunktion morgen noch mal publizieren, jetzt geh ich schlafen!
mfg
(Beitrag nachträglich am 22., August. 2004 von tl198 editiert) |
Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1558
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. August, 2004 - 01:11: |
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Hi nochmal,
man könnte auch:
x = arctan(t) substituieren, dann kommt man auf das einfache Integral:
int[ 16*t^2/(3 + t^2)^2 dx ]
Dann müsste man aber Symetrie ausnutzen und mit dem das Ausgangsintervall zu [0..pi/2] ändern, dafür wegen Symetrie 2mal das Integral nehmen.
Das halte ích aber für etwas dubios...was meint ihr??
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4324
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. August, 2004 - 10:56: |
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Hi Ferdi
Mit Deiner letzten Idee kommt man am besten zum Ziel; ich habe es auch
so gemacht, sozusagen im Schlaf.
Der Integrand für die gesuchte Fläche ist
f(m) = 8 m^2 / (3 + m^2)^ 2 mit m = tan(phi).
Als Stammfunktion dient
F(m) = - 4 m / (3 + m^2) + 4/sqrt(3) * arc tan (1/sqrt(3) * m)
Integrationsgrenzen 0.. infinity eingesetzt ergibt die
halbe Fläche A.
Vielen Dank für Deinen nächtlichen Einsatz!
Auch Christian gilt mein Dank; seine Idee führt
ebenfalls auf die Lösung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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