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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 14:54: | 
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Hallo
Ich habe Schwierigkeiten, die folgende Integrationsaufgabe
zu bewältigen und bitte um Hilfe.
Zur gegebenen Funktion f(x) = 1 / (sin a x + cos a x) ist eine
Stammfunktion F(x) zu ermitteln, wobei a die gegebene Konstante
sqrt (2) / 2 ist.
F(x) soll in der Form F = ln (tan u(x)) dargestellt werden.
Gesucht wird eine solche Funktion u(x).
Die Lösung soll ausführlich von Hand, ohne zu Hilfenahme
von Computerprogrammen, ermittelt werden.
Vielen Dank im Voraus
Miro
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2349
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 15:18: |
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benutze ersteinmal
sinv + cosv = [sqrt2/2]*sin(v + pi/4)
dann
Substituiere ax + pi/4 = w, dw = a*dx,
dx = dw/a
damit wird der Integrand zu 1/sin(w)
dafür
mit der Subst. u = tan(w/2) die ja bekannt sein dürfte,
weitermachen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4308
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 15:24: |
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Hi Miro
Ich habe den folgenden Lösungsvorschlag:
Wir führen die Aufgabe auf eine vor kurzem
in diesem Forum gelöste Aufgabe zurück.
Es handelt sich dabei um das Integral mit g(x) = 1/sin x als
Integrand.
Bekanntlich taugt G(x) = ln [tan (½ x)] als eine Stammfunktion
bezüglich g(x).
Wir substituieren zunächst a x = z , a dx = dz
Der Integrand in z lautet dann:
1 / (a * sin z + a * cos z)
Den Nenner des Bruches formen wir unter Benützung der
Voraussetzung über a so um:
1 / (a*sin z + a*cos z) = 1 / [cos (¼ Pi) * sin z + sin (¼ Pi) * cos z]
Mit Hilfe des Additionstheorems der Sinusfunktion wird daraus:
1 / sin( ¼ Pi + z ).
Das gesuchte Integral ist damit auf den in der Einleitung erwähnten
Typus zurückgeführt.
Es entsteht der Reihe nach für F:
F = ln [tan (Pi/8 + ½ z)] = ln [tan (Pi/8 +½ ax)]
Somit erscheint für a = 1/sqrt(2):
u(x) = tan (Pi/8 + ½ ax).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4309
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 15:47: |
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Hi Miro
Als Ergänzung zu Deiner Aufgabe eine Verallgemeinerung:
Für g(x) = 1 / (sin ax + cos ax)
mit der beliebigen von null verschiedenen
Konstanten a kommt als Stammfunktion G(x) in Frage:
G(x) = 1 /{a*sqrt(2)} * ln [tan (½ a x + Pi / 8)].
Gute Übung:
Weise das nach durch Differenzieren!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 13:13: |
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Hallo
Besten Dank an Friedrichlaher und Megamath für
die wertvolle Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
Miro
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