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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1142 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 10:48: |
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Hallo, noch ein Problem: ich habe folgende Aussagen: a)[0,1]vereinigt [2,3] ist stetiges Bild von [0,3] b)[0,3] ist stetiges Bild von [0,1] vereinigt [2,3] angeblich ist Aussage a) falsch, b) sei aber richtig. Aber wieso ist das so? Die Begründung soll in einem Zusammenhangsargument stecken... Ich weis das stetige Bilder zusammenhängender Mengen zusammenhängend sind, und ich weis, das in IR die Intervalle die Zusammenhängenden Mengen darstellen. Wieso spielt hier die vertauschung der Reihenfolgen in den Aufgaben die entscheidende Rolle? Gruß N.
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 935 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:53: |
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a) Du hast zwei disjunkte, abgeschlossene Intervalle. Die können niemals das stetige Bild eines abgeschlossenen Intervalls sein, weil dessen Bild ja zusammenhängend ist. b) Beispiel: f(x)= (27-12(x-1,5)²)/8 = (-3/2)x(x-3) f ist offensichtlich stetig und es ist f([0,1]È[2,3])=[0,3] |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1155 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 09:38: |
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Hi Ingo, nochmal eine kurze Nachfrage ob ich das richtig verstanden habe: Ich habe mal gelernt, das eine Mengen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie nicht die disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Mengen ist. Nun weis ich das stetige Bilder zusammenhängender Mengen zusammenhängend sind. Nun sagst du, das [0,1]vereinigt [2,3] nicht das stetige Bild von [0,3] sein kann richtig? Begründung: [0,1] vereinigt [2,3] ist nicht zusammenhängend. Denn [0,1] und [2,3] sind zwar als Intervalle in IR zusammenhängend, da aber ihr Schnitt leer ist (also sie disjunkt sind) ist ihre Vereinigung nicht zusammenhängend. richtig so??? b) Es müssen zwar stetige Bilder zusammenhängender Mengen zusammenhängend sein, aber es müssen nicht stetige Urbilder zusammenhängender Mengen zusammenhängend sein. Wie deine Funktion zeigt, sie ist stetig, ihr Bild ist stetig, aber ihr Urbild nicht. Mich würde mal interessieren wie du auf diese Funktion gekommen bist. Wie kann ich aus den gegebenen Intervallen so eine Funktion konstruieren?? Gruß N.
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 942 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 12:51: |
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a) Hast Du richtig verstanden. Die einzelnen Intervalle sind zusammenhängend, aber ihre Vereinigung enthält "eine Lücke" (Weil ihre Schnittmenge leer ist) b) ganz einfach: Ich habe mir überlegt, daß es genügt, wenn eines der Intervalle auf [0,3] abgebildet wird und das andere auf eine Teilmenge. Nun sind aber beide Intervalle gleich lang und haben zueinander den Abstand 1. Man muss also nur eine Parabel bestimmen, deren Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Intervallen liegt und diese dann so strecken oder stauchen, daß der Wertebereich auch wirklich im Intervall [0,3] zum liegen kommt. Ansatz also in diesem Fall f(x)=a(x-1,5)²+b Ich wollte das Zielintervall voll ausnutzen, also muss f(0)=0 und f(1)=3 gelten. Das eingesetzt ergibt ein GLS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, welches eindeutig lösbar ist. Eine zweite Möglichkeit wäre es gewesen mit der Forderung f(0)=f(3)=0 zu beginnen (und der zusätzlichen Überlegung, daß eine Parabel genügt). Dann wäre klar, daß f(x)=ax(x-3) sein muss und mittels f(1)=3 erhält man direkt f(x)=(-3/2)x(x-3) Als letztes vielleicht noch die Übertragung auf zwei beliebige Intervalle [a,b] [c,d] mit a<b<c<d. Wähle zunächst das längere Intervall(oBdA. [a,b]), dann haben wir dafür zu sorgen, daß f(a)=f(d)=0 und f(b)=3 Eine leichte Rechnung führt auf f(x)=3(x-a)(x-d)/((b-a)(b-d)) In der Tat ist f(c) = 3(c-a)(c-d)/((b-a)(b-d)) = 3(c-a)/(d-b) * (d-c)/(b-a) < 3 |
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