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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1132 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 08:49: |
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Hi Leute, mir ist diese Frage eigentlich wirklich peinlich, aber wie kann ich Beweisen das: lim ln(x)/x=-¥ für x->0 ist??? Ich meine, wenn man sich den ln hinmalt ist die Behauptung offensichtlich, aber das ist ja kein formaler Beweis.... Ich dachte man könnte das mit L`hospital beweisen, aber irgendwie bekomme ich immer als Ergebnis +¥... vieln Dank für eure Antwort. Gruß N. |
Kläusle (Kläusle)
Senior Mitglied Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 574 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 09:36: |
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Hallo, schreibe doch den Bruch um in: lim ln(x) * 1/x für x-->0 Dann steht bei der Grenzwertbetrachtung: -oo * oo = -oo
MfG Klaus
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 894 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 09:49: |
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Niels, Für alle x > 0 und x 1 gilt (x-1)/x < ln x < x-1. Sei K>0 vorgegeben. Dann ist (ln x)/x < - K sobald 0 < x < 1/(1+K).
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1133 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 12:54: |
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Hi Kläusle und Orion, @Kläusle: sehr einleuchtend die Rechnung, aber mit dingen wie "unendlich zu Rechnen, als wären es reelle Zahlen bereitet mir Bauchschmerzen- obwohl die Rechnung in der erweuterteb reellen Zahlengeraden durchaus so möglich ist. Ich bevorzuge Orions Idee. @Orion: die Ungleichungskette des ln(x) ist klar, aber wie kommst du auf die Abschätzung mit K? (wie folgere ich das aus der Ungleichungskette?) die Idee ist mir klar: Setze K=¥, dann gilt: ln(x)/x<¥ für 0<x<1/(1+¥) also 0<x<0 also folgt der Grenzwert -¥ für x->0 Aber wie gesagt, wie forme ich die ln- Ungleichungskette geschickt so um, das diese Behauptung für K herauskommt? Gruß N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 923 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 13:05: |
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Bei unendlich mal unendlich brauchst Du Dir keine großen Gedanken zu machen, denn wenn zwei Folgen an und bn über alle Grenzen wachsen, so erst recht auch ihr Produkt.
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 895 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 17:24: |
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Niels, (ln x)/x < 1 - 1/x < - K <=> 1/x > 1+K <=> x < 1/(1+K) mfG Orion
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 924 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 18:00: |
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Hab mal den zweiten Teil meines Postings oben rausgenommen, weil er völliger Quatsch ist. Ein Wort aber noch zur Anwendung von L'Hospital: Er ist nur anwendbar, wenn Zähler und Nennerfunktion gegen denselben Wert konvergieren, was hier nicht der Fall ist. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1134 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 19:10: |
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Hi Ingo, das will ich auch hoffen:-) Dein "Beweis" fand ich wirklich etwas Suspekt.... Ist klar, das Hospital nur bei Bruchtermen sinn macht...scchließlich wird im Beweis von hospital der Mittelwertsatz verbraten.... Orions methode gefällt mir... Übrigens noch eine Frage zu hospital: wie sieht es mit folgenden Grenzwert aus? lim((exp(1)-(1+x)^(1/x))/x) für x-> unendlich mit hospital??? Gruß N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 925 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 20:50: |
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Hi Nils, bist Du Dir sicher, daß es x->¥ sein soll? Dann gehts nämlich nicht mit L'Hospital, da limx->¥(1+x)(1/x) = limx->¥exp((1/x)ln(1+x)) = e0 = 1 [Benutzt wurde dabei lim (ln(1+x)/x)=0 nach L'Hospital]} Also haben Zähler- und Nennerfunktion einen unterschiedlichen Grenzwert. Der Grenzwert des gesamten Ausdrucks wäre demnach 0. Meinst Du nicht eher x->0 ? Dann wären die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Die Frage ist nur, ob er einen weiterbringt, denn die Ableitung von (1+x)1/x ist nicht viel handlicher.
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1135 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 21:01: |
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Hi Ingo, du hast recht, x soll natürlich gegen Null streben, habe mich verguckt... N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1136 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 10:59: |
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Hi Ingo, dein ehemaliger Ansatz mit l`hospital funktioniert doch...ich weis nicht was du daran nicht mochtest, man muss halt nur dafür sorgen das Zähler und Nennerfunktion tatsächlich gegen 0 oder unendlich (bzw. -unendlich) laufen. D.h. entweder betrachtet man hier ln(x)/(1/x) oder (1/ln(x)/x beides funktioniert und führ zum richtigen Ergebnis- obwohl der "Weg" zum Ziel bei der zweiten Variante etwas schwerer ist... Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1137 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 20:21: |
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mitlerweile habe ich eingesehe, was Ingo meinte, ich habe mich mal schon wieder verrechnet... also das mit hospital war völliger blödsinn von mir... N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 926 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 10:55: |
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*g kenne ich irgendwoher ;) Mein Fehler war einfach, daß ich statt des Quotienten das Produkt munter abgeleitet habe und das ist (wie oben schon steht) natürlich völliger Schwachsinn, wie man schon am einfachen Beispiel f(x) = x = 1*x sehen kann. |