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Mengengleichheit mit ggT

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Markus81 (Markus81)
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Benutzername: Markus81

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 16:57:   Beitrag drucken

hallo zusammen.

habe folgende gleichheit für alle a,b e Z zu zeigen:
{sa+tb | s,t e Z}={k*ggT(a,b) | k e Z}
die inklusion "c" habe ich schon gezeigt, fehlt noch die andere richtung...

gruß
markus
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 804
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 17:40:   Beitrag drucken

sa + tb

a := ggT(a,b) * m
b := ggT(a,b) * n

damit

sa + tb = sm*ggT(a,b) + tn*ggT(a,b) = (sm+tn)*ggT(a,b)

somit gilt mit der Gleichheit k = sm+tn
auch

sa + tb = k * ggT(a,b)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Markus81 (Markus81)
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Neues Mitglied
Benutzername: Markus81

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 08:08:   Beitrag drucken

hallo mainziman.

danke erstmal für die antwort.
aber warum ist denn k=sm+tn?
klar, wenn ich mir s,t e Z wähle, finde ich ein k e Z, so daß k=sm+tn.
aber die inklusion in die andere richtung: ich habe ein k e Z gegeben und will das jetzt als linearkombination von m und n darstellen?

gruß
markus
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 805
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 09:57:   Beitrag drucken

wegen

a := ggT(a,b) * m
b := ggT(a,b) * n

gilt ggT(m,n) = 1
--
mal ein Beispiel

a = 17, b = 8 => ggT(a,b)=1

zu zeigen, daß 17s + 8t jede bel. ganze Zahl ergibt für s,t aus IZ

s = 1, t = -2 => 1

es genügt zu zeigen, daß eine linearkombination von m, n existiert, welche 1 liefert; dies ist nach Euklid für alle m, n mit ggT(m,n) = 1 der Fall;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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