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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4123 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 19:39: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 402 Sie lautet: Man berechne die Summe der unendlichen Reihe M: = sum [F(n) / 2^n], n laeuft von n = 0 ad infinitum F(n) ist - wie bisher - die allgemeine Fibonaccizahl aus der Folge F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1 , F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5 …… MfG H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1422 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:39: |
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Hallo Megamath Ich würde hier die Formel von Binet anwenden, d.h. F(n)=1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/2)n-((1-sqrt(5))/2)n] Damit haben wir dann F(n)/2n=1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/4)n-((1-sqrt(5))/4)n] Um den Wert unserer Reihe zu berechnen müssen wir dann nur noch die beiden geometrischen Reihen S¥ n=0 1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/4)n] und S¥ n=0 1/sqrt(5)*[((1-sqrt(5))/4)n] auswerten. Der Wert von M ergibt sich dann als Differenz zu M=2 ; MfG Christian |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 390 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:45: |
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Hi Megamath, Mein Versuch: Es ist Fn=1/sqrt(5)*(an-bn) mit a=(1+sqrt(5))/2 und b=(1-sqrt(5))/2. Daraus folgt nach etwas Umformung Fn/2n=1/sqrt(5)*(a/2)n-1/sqrt(5)*(b/2)n. Es läßt sich nun die Summe mit Hilfe der geometrischen Reihe berechnen,gleich in doppelter Ausführung: S¥ n=0 Fn/2n=1/sqrt(5)*S¥ n=0 (a/2)n-1/sqrt(5)*Sinf n=0 (b/2)n =1/sqrt(5)*[1/(1-a/2)-1/(1-b/2)] =2 Gruß,Olaf Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! Kant,Immanuel
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1423 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:55: |
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Hi Olaf Da hatten wir wohl die gleiche Idee Übrigens kann man mit der gleichen Methode sogar die noch etwas allgemeinere Reihe M(k):=S¥ n=0 F(n)/kn berechnen für k>(1+sqrt(5))/2, k reell. Es ergibt sich M(k)=4k/[(2k-1)2-5] , womit man natürlich wieder M(2)=2 erhält. MfG Christian
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4124 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:58: |
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Hi Olaf, Hi Christian Eure Loesungen sind ausgezeichnet! Besten Dank! Es war an der Zeit,dass Binet zum Zug kam. Nur ein kleiner Schritt fuehrt uns auf die Erzeugende; dies kommt in Aufgabe LF 403. MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 391 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:02: |
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Hi Christian, Danke für den Hinweis! Gruß,Olaf Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! Kant,Immanuel
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