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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4100
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 19:57: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 396
Gegeben sind wiederum die windschiefen Geraden
g und h in Parameterform:
g: x = 2 + t ; y = 1; z = 5 + 3 t
h: x = 3 - s ; y = 4 + 4 s ; z = 2 + s .
P ist ein laufender Punkt auf g, Q ein laufender Punkt auf h.
Die Parameter t und s variieren unabhaengig voneinander.
Man stellte das Abstandsquadrat F = (PQ) ^2 als eine Funktion der
Variablen t und s dar : F = F(t ,s ).
Man ermittle das Minimum von F und suche und finde
nochmals die Minimaltransversale von g und h
samt Auflagepunkten P* und Q*.
MfG
H.R.Moser, megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1392
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 23:00: |
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Hi megamath,
es wird einem schon unheimlich wenn man sieht, wie viele Methoden es gibt den Abstand windschiefer Geraden zu berechnen!! 
Der Abstand von zwei laufenden Punkten ist gerade der Betrag des Vektor PQ:
PQ = { (t + s -1) , (-4s - 3) , (3t - s + 3) }
|PQ|^2 = 10t^2 + 18s^2 - 4ts + 16t + 16s + 19
F(t,s) = 10t^2 + 18s^2 - 4ts + 16t + 16s + 19
Nun bilden wir die partiellen Ableitungen nach t uns s:
Ft = 20t - 4s + 16
Fs = 36s - 4t + 16
F(t,s) hat möglich Extrema bei Ft=0 und Fs=0
Lösen wir das Gleichungsystem, es liefert:
t = -10/11 , s = -6/11
Nun ist die Hessematrix = 344 > 0 und Ftt = 10 >0! Bravo es liegt ein Minimum vor [laut Theorie] !
Setzen wir die Wert in F(t,s) ein! Wir erhalten:
F(-10/11,-6/11) = 81/11 ==> |PQ|^2
==> |PQ| = 9/sqrt(11)
Setzt man nun noch t und s in die Geradengleichung ein, so gibt es alte Freunde nämlich:
P* ( 12/11 , 1 , 25/11)
Q* ( 39/11 , 20/11 , 16/11)
So kann ich beruhigt schlafen gehen!!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4101
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 08:13: |
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Hi Ferdi
Ich habe nicht angenommen, dass jemand DIESE Methode findet,
und ich hoffte insgeheim, man loese die Aufgabe mit dem ganzen
Apparat der Hauptachsentransformation im R3.
Dein Angebot nehme ich gerne entgegen:
Ich finde, man sollte die elegante Methode hier Schritt für Schritt
vorfuehren, damit moeglichst viele Teilnehmer davon profitieren.
Als Vergleich sollte auch die Hauptachsentransformation in extenso
angefuegt werden.
Alles zur rechten Zeit!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4102
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 08:33: |
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Hi Ferdi
Der obige Beitrag ist falsch plaziert;
ich werde ihn alsobald an die richtige Stelle
transformieren.
Hierher gehoert das Folgende:
Danke fuer Deinen Beitrag!
Das Resultat fuer den Abstand dieser legendaeren Geraden
ist nun genug gefestigt.
Puristen meinen zwar, in der Vektorgeometrie habe die
Differentialrechnung nichts zu suchen.
Ich bin anderer Meinung: wo immer es geht, sollte man alle
Register ziehen dürfen!
MfG
H.R.Moser,megamath
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