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Lockere Folge 399 : Reihen 25

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4113
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 17:51:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lockere Folge LF 399.

Mit F(0) = 0, F(1) = 1. F(2) = 1, F(3) = 2, F (4) = 3, F(5) = 5,..
sollen die allbekannten Fibonaccizahlen bezeichnet werden.
Man ermittle die Summen der folgenden unendlichen Reihen
mit ihnen:

a)
U := sum [1/ [F(n)*F(n+2)] , n = 1 ad infinitum

b)
V := sum [F(n) / [F(n-1)*F(n+1)] , n = 2 ad infinitum


MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1418
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 18:40:   Beitrag drucken

Hallo megamath

Zu a):
Es gilt
1/(F(n)*F(n+2))=1/(F(n)*(F(n+1)+F(n))
Partialbruchzerlegung ergibt:
1/(F(n)*(F(n+1)+F(n))=1/(F(n)*F(n+1))-1/(F(n+1)*(F(n)+F(n+1))
=1/(F(n)*F(n+1))-1/(F(n+1)*F(n+2))
Bilden wir nun die unendliche Reihe, so ergibt sich durch den Teleskopeffekt die Summe
U=1/(F(1)*F(2))=1/2

MfG
Christian




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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 883
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 18:49:   Beitrag drucken

Megamath,

a) 1/F(n) - 1/F(n+2) = [F(n+2)-F(n)]/F(n)F(n+2)

= F(n+1)/F(n)F(n+2) =>

1/F(n)F(n+2) =

1/F(n)F(n+1) - 1/F(n+1)F(n+2).

Die N-te Partialsumme U(N) hat also den Wert
(Teleskopeffekt !)

U(N) = 1/F(1)F(2) - 1/F(N+1)F(N+2) =>

U = 1 .


b) Derselbe Trick funktioniert auch hier :

F(n)/F(n-1)F(n+1) = 1/F(n-1)-1/F(n+1)

=[1/F(n-1)-1/F(n)] + [1/F(n)-1/F(n-1)] =>

V(N) = 1/F(1)-1/F(N) + 1/F(2)-1/F(N+1) =>

V = 2.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4115
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:53:   Beitrag drucken

Hi Christian

Deine Methode zur Loesung ist richtig!
Es sind gute Beispiele zum Teleskopeffekt.
Achtung: Das Resultat ist U = 1

MfG
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4116
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi Orion

Die Herleitungen und Resultate sind richtig!

Besten Dank für Deinen Beitrag.

MfG
H.R.Moser,megamath

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