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Lockere Folge 384 : Reihen 21

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4067
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 11:38:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 384, Reihen 21.

In Analogie zur Aufgabe LF 383 entwickle man die
Funktion f(x) = [ln(1-x)]^2 nach Potenzen von x.
Zur Lösung verwende man eine der Methoden,
die kürzlich bei der Lösung von LF 383 präsentiert wurden.
Ein gutes Omen besteht darin, dass im Ergebnis der
Summationsindex von 2 ad infinitum läuft.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1411
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 12:39:   Beitrag drucken

Hallo megamath

Wir können hier die Methode von Orion anwenden.

Es gilt
f(x)=-2ò0 x ln(1-t)/(1-t) dt

Außerdem gelten die Reihenentwicklungen
1/(1-t)=S¥ k=0 tk
ln(1-t)=S¥ k=0 -1/(k+1)*tk+1

Cauchyprodukt der beiden Reihen:
-2*ln(1-t)/(1-t)=2*S¥ k=0tk+1*Sk n=0 1/(n+1)

Integration ergibt dann die Funktion f:
f(x)=S¥ k=0 2xk+2/(k+2)*Sk n=0 1/(n+1)
=S¥ k=2 2xk/k*Sk-2 n=0 1/(n+1)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4068
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 13:34:   Beitrag drucken

Hi Christian



Vielen Dank und Bravo!

MfG
H.R.Moser,megamath

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