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Lockere Folge 380 : Ein Grenzwert

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4058
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Bei der Aufgabe LF 380 ist ein Grenzwert zu bestimmen.
Gesucht wird

LIM [ Pi / h * coth (Pi * h) – 1 / h^2], für h -> 0

Das Ergebnis benötigen wir in einer der folgenden
Aufgaben der Serie LF,Reihen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1369
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 10:51:   Beitrag drucken

Hi megamath ,

ist der gesuchte Grenzwert:

G = (1/3)*PI^2 ??

Hier meine Lösung:

zunächst auf einen Nenner bringen:

lim[ {PI * h * Coth(PI*h) - 1} / h^2 ] h->0

Es gilt:

coth(PI*h) = 1/(h*pi) + (h*pi)/3 - (h*pi)^3/45...

einsetzen:

lim[ {1 + (h*pi)^2/3 - (h*pi)^4... - 1}/h^2 ] h->0

Die Eins im Zähler hebt sich weg! wir kürzen durch h^2:

lim[ pi^2/3 - h^2*pi^4/45...] h->0 = pi^2/3

da alle anderen Term noch mindestens ein h enthalten und somit 0 werden!

Damit:

lim[ PI/h * coth(PI * h) - 1/h^2 ] h->0
==> (1/3)*PI^2

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4059
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 13:36:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Herleitung und das Resultat sind richtig! Danke!
Am einfachsten löst man die Aufgabe mir der Taylorentwicklung
der Funktion f(m) = m* coth (m) im Nullpunkt m = 0.
Unter Verwendung des Landau-Symbols O entsteht sofort
f(m) = 1 + 1/3 m^2 +O(m^4).
Dies ist ein Stenogramm Deines Ansatzes!

Der Grenzwert ergibt sich, etwas mühsamer, mit Hilfe des Regel
von de L´Hospital-Bernoulli; man muss sie zweimal anwenden und
sehr sorgfältig rechnen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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