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Lockere Folge 376 : Reihen 14

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Lockere Folge 376 : Reihen 14 « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4042
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 13:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Aufgabe LF 376.

Gegeben f(n) = {1*3*5*…(2n-1)} / {2*4*6…*(2n)}
Daraus entsteht mit p > 0 die unendliche Reihe
sum [ f(n) ^ p ] , n = 1 ad infinitum.
Man untersuche mit einem geeigneten Kriterium,
für welche Werte von p die Reihe konvergiert.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 876
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 14:21:   Beitrag drucken

Megamath,

f(n) = (2n)!/[22n(n!)2] = O(n- 1/2) (Stirling)

=>

f(n)p = O(n- p/2) =>

die Reihe konvergiert g.d.w. p > 2.

(Beitrag nachträglich am 21., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4043
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 14:40:   Beitrag drucken

Hi Orion



Einverstanden,Bravo und Dank!

MfG
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1364
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 16:06:   Beitrag drucken

Hi megamath & Orion,

ich habe irgendwo mal diese Ungleichungskette gesehen:

1/sqrt(4*n+1) < product[(2k-1)/2k] [k=1..n] < 1/sqrt(3*n+1)

Also :

(4n+1)^(-p/2) < f(n)^p < (3n+1)^(-p/2)

Woraus folgt das f(n)^p nur für p > 2 konvergiert!

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1104
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 17:36:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

der Beweis deiner Ungleichungskette würde mich ja brennend interessieren.

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1394
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 18:09:   Beitrag drucken

Hi Niels

Schau mal hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/357834.html

Da habe ich sowas ähnliches bewiesen. Der Beweis von Ferdis Ungleichung funktioniert analog.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1107
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 10:39:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen Dank für den Link!

Gruß N.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1691
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 19:13:   Beitrag drucken

Hi megamath,

eine Frage: heute wurde behauptet die Konvergenz dieser Reihe lasse sich auch mit dem Kriterium von Raabe beweisen!

Ich hab es jetzt mal ein wenig versucht, aber komme zu keinem Ergebniss! Meine Lösung ist jetzt dabei geblieben, die Reihe zwischen den Wurzeln einzuklemmen, und dann das Vergleichskrietrium anzuwenden, dann sieht man auch das p>2 sein muss.

Weißt du ob Raabe hier hilft?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4642
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 20:53:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich habe soeben mit Erfolg das Kriterium von
Raabe bei Deiner Reihe eingesetzt.
Das Ergebnis teile ich morgen im Lauf des Tages mit!

Als Trost möge Dir das Folgende dienlich sein:

http://mapcar.de/postcards/framesets/_f_postcards_morgenstern_der_rabe_ralf.html

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4643
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 12:19:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Es folgt nun der Versuch, die Konvergenz dieser Reihe
für p > 2 mit Hilfe des Kriteriums von Raabe nachzuweisen.

Spiritus rector des Kriteriums:
Joseph Ludwig Raabe (1801-1859)
Studium in Wien, Professur an der ETH (Polytechnikum)
in Zürich.

Im Vorspann seien ein paar Bemerkungen zu
diesem Kriterium aufgeführt.

Beim Kriterium von Raabe muss der Term
R(n) = n * [a(n+1) / a(n) – 1 ] untersucht werden.

Grenzwerte von R(n) für n strebt gegen unendlich:
Für lim R(n) > - 1 : Divergenz
Für lim R(n) < - 1 : Konvergenz
Für lim R(n) = - 1 : kein Entscheid.

Bei der vorliegenden Reihe gehen wir von der
Darstellung des allgemeinen Gliedes
a(n) = { (2n)! / [2^(2n)(n!)^2] } ^ p aus.
Diese Darstellung ist handlicher als die ursprüngliche
und taucht im weiter oben zitierten Beitrag von Orion auf.

Wir berechnen der Reihe nach:
a(n+1) / a(n) = [(2n+1)/(2n+2)]^p
a(n+1) / a(n) – 1 = [(2n+1)/(2n+2)]^p - 1
also:
R(n) = n * [a(n+1) / a(n) – 1 ]
= n* { [(2n+1)/(2n+2)]^p – 1 }
Das ist noch zu wenig übersichtlich, daher die
Substitution: 2n+2 = m, 2n +1 = m-1,
n= ½*m – 1
Es entsteht
R = n*{[(m-1)/m]^p - 1}= n*{(1 - 1/m)^p – 1}
~ n* {1 – p*(1/m) -1 } = - n p / 2*(n+1)

Der Grenzwert von R für n gegen unendlich stimmt mit
- ½ p überein.
Die Konvergenzbedingung:
- ½ p < -1 führt auf
p > 2.

Der Kreis hat sich geschlossen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1692
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 13:14:   Beitrag drucken

Hi megamath,

besten Dank für deine Lösung! Einmal Bernoulli war als die Idee. Also geht es doch mit Raabe...

Hauptsache man bekommt dasselbe Ergebniss!

mfg

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