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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4007 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 17:53: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 365 : Reihen R 6 Gegeben sind zwei unendliche Reihen: Erste Reihe, Summe S1= S1(x): S1 = 1 + sum [(-1) ^ n * 2 ^ (2n-1) * x^ (2n) / (2 n )!] Summationsindex n = 1 ad infinitum Zweite Reihe, Doppelreihe, Summe S2 = S2(x) S2 = 1 + sum [ (sum [1 /{(2 n – 2 m )! (2 m )!}] * (-1)^n *x^(2n)] Summationsindizes: m = 0 bis n, n = 1 ad infinitum. S1(x) und S2(x) sind identisch. Man führe durch formale Rechnung die zweite Reihe auf die erste zurück und zeige: für die gemeinsame Summe S gilt: S = [ cos(x) ]^2
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1384 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 19:30: |
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Hallo megamath Zunächst zeigen wir, dass S1(x) und S2(x) identisch sind. Dafür müssen wir offenbar zeigen, dass Sn m=0 1/[(2n-2m)!(2m)!] = 2(2n-1)/(2n)! gilt. Sei mit [n;k] der Binomialkoeffizient n über k bezeichnet. Dann rechnet man nach(Binomische Formel). Sn m=0 1/[(2n-2m)!(2m)!] =1/(2n)!*Sn m=0 [2n;2m] =1/(2n)!*1/2*S2n m=0 [2n;m] =22n-1/(2n)! Hier wurde benutzt, dass Sn m=0 [2n;2m]=Sn-1 m=0 [2n;2m+1] gilt. Das folgt aus S2n m=0 (-1)m[2n;m] =0 S1(x) und S2(x) sind also identisch. Bleibt noch zu zeigen, dass für die gemeinsame Summe S gilt: S=[cos(x)]2 Dafür nimmt man sich die cosinus-Reihe und bildet das Cauchyprodukt (S¥ n=0 (-1)n*x2n/(2n)!)*(S¥ n=0 (-1)n*x2n/(2n)!) Man erhält dann die Reihe S2. Also S=[cos(x)]2 MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4008 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 19:47: |
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Hi Christian Das ist sehr einleuchtend und lückenlos dargestellt! Besten Dank für Deine Lösung. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4009 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 20:12: |
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Hi Christian Ich führe noch eine weitere Herleitung der Summe S1 her. Wir schreiben mit einer bekannten Formel der Goniometrie [cos(x)]^2 = ½ + ½ cos (2x) In der ebenfalls bekannten Cosinusreihe cos x = sum [(-1)^n * x^(2n) / (2n) ! n = 0 ad infinitum ersetzen wir x durch 2 x, und wir sind unmittelbar vor dem Ziel. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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