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Lockere Folge 363 : algebraische Kur...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3998
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 15:03:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 363
Zur Entspannung: eine Aufgabe mit geometrischem Einschlag:

Gegeben wird die algebraische Kurve vierter Ordnung
2 x^4 - 2 x^2 * y^2 + y^4 - x^2 * y - y^3 - 4 x^2 – 3 y^2 + y +2 = 0
Die Kurve hat drei Doppelpunkte, drei Hoch-
und drei Tiefpunkte.
Man ermittle die Koordinaten dieser ausgezeichneten
Punkte sowie die Steigungen der Tangenten
in den Doppelpunkten.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1347
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 21:22:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich rätsele nun schon seit einem Tag an der Kurve! Ich finde keine geeignete Parametrisierung.

Kannst du mir einen kleinen Hinweis geben?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4001
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 21:51:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Eine Parametrisierung ist nicht angezeigt.
Beachrte die Symmetrie und schneide die Kurve
mit den Koordinatenachsen.
Dann hast Du schon fünf wesentliche Punkte !
Um die Steigungen der Tangenten zu bekommen,
wird man implizit nach x differenzieren.
Die Ermittlung der Hoch- und Tiefpunkte ausserhalb der Koordinatenachsen
soll wegfallen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1348
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

Hi megamath,

die Punkte ergeben sich dann aus den Gleichungen:

2x^4 - 4x^2 + 2 = 0

und

y^4 - y^3 - 3y^2 + y + 2 = 0

D.h.

S1 ( 1 | 0 ) ; S2 ( -1 | 0 ) ; S3 ( 0 | 1 ) ; S4 ( 0 | -1 ) ; S5 ( 0 | 2 )

Als Ableitung erhalte ich:

8x^3 - 4xy^2 - 4x^2yy' + 4y^3y' - 2xy - x^2y' - 3y^2y' - 8x - 6yy' + y' = 0

y ' = (8x^3 - 4xy^2 - 2xy - 8x)/(4x^2y - 4y^3 + x^2 + 3y^2 + 6y - 1)

Setze ich da aber die Werte der fünf Punkte ein, erhalte ich keine Vernünftigen Ergebnisse!

Ich kann mir auch gar kein bild von der Kurve machen..., wäre dies mit Maple möglich? Das Programm scheint einiges zu können!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4002
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 18:05:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Aus Zeitmangel kann ich erst morgen näher auf Deine Lösung eingehen.
Heute nur dies
Die Doppelpunkte sind
D1(0/1),D2(1/0),D3(-1/0)

Für y' erscheinen hier unbestimmte
Ausdrücke 0 über null !

T(0/2) ist ein Tiefpunkt. usw.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4003
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 09:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die von Dir berechneten Daten sind alle richtig,
auch die Ableitung y´ ist ok.

Ich gebe noch die restlichen Daten zur Kontrolle:

Die Doppelpunkte samt Tangentensteigungen:

D1(0/-1); mI = 1/6 sqrt(30) ; mII = -1/6 sqrt(30)
D2(1/ 0); mI = (-1 + sqrt(41))/5 ; mII = (-1 - sqrt(41))/5
D3(-1/0); mI = (1 + sqrt(41))/5 ; mII = (1 - sqrt(41))/5

(Korrektur bei D1 gegenüber einer früheren Mitteilung)

Maxima:
H1(0/1)
H2~(3,87/ 5,04)
H3~(-3,87/5,04)

Minima
T1(0/2)
T2~(1,60/ -2,04)
T3~(-1,60/-2,04)

Um die Steigungen der Tangenten in den Doppelpunkten zu erhalten,
sind gewisse Rechnungen mit partiellen Ableitungen durchzuführen.
Dies soll in einem spätern Beitrag geschehen.

Maple kann die Kurve zeichnen!
Der Befehl lautet:
with(plots);
implicitplot(f(x,y)=0,x=-4,4,y=-6..6);

Fortsetzung folgt
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4004
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 09:54:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Auszug aus der Theorie:

Ohne Beweis sei Folgendes zu den singulären Punkten
einer algebraischen Kurve mitgeteilt.
Die Gleichung der Kurve laute: f(x,y) = 0.
Wir bilden die ersten partiellen Ableitungen der
Funktion f(x,y) der linken Seite nach x und y;
Bezeichnungen: fx,fy;
wir berechnen ferner die entsprechenden partiellen
zweiten Ableitungen, die so bezeichnet werden sollen:
fxx,fyy,fxy.
Zusätzlich benötigen wir noch die Determinante
D = (fxy)^2 – fxx fyy

Singuläre Punkte sind dadurch charakterisiert,
dass in ihnen
gleichzeitig f(x,y) = 0 , fx = 0 , f y = 0 gilt.
Dadurch entsteht für y´= -fx/fy ein unbestimmter Ausdruck.
Gleichwohl lässt sich y´ berechnen und zwar aus der
Gleichung
fxx + 2 y´* fxy + (y´)^2 * fyy = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Ist fyy von null verschieden, so treten die folgenden Fälle ein:
1.Fall; D>0: Doppelpunkt mit zwei verschiedenen Tangenten
2.Fall; D=0: Rückkehrpunkt(Spitze)
3.Fall; D<0: Einsiedlerpunkt (ohne Tangente)

Für fyy = 0 gibt es einen Doppelpunkt mit einer zur y-Achse
parallelen (einzigen) Tangente.

So viel und so wenig !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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