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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3918
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 19:19: | 
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Hi allerseits
Jetzt kommt die angekündigte Aufgabe LF 333, F17
als Schlussbouquet des Festivals.
Man berechne die beiden bestimmten Integrale MM1 und MM2
und vergleiche deren Werte; der Laie staunt, und der
Fachmann wundert sich:
Die Integrale sehen so aus:
MM1= int^ [(1-x^3) ^ ( ¼ ) dx ]
MM2= int^ [(1-x^4) ^ ( 1/3 ) dx ]
untere Grenze 0 ,obere Grenze 1 in beiden Fällen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1304
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:55: |
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Hi megamath!
Das verwundert auf den ersten Blick schon! Aber die Untersuchung behebt mal wieder alle zweifel!
Sei allgemein:
MMa = int[ (1 - x^n)^(1/m) dx] [0..1]
Wir setzen:
x^n = t ==> dx = 1/n * t^(1/n - 1) dt
[0..1] ==> [0..1]
MMa = (1/n) int[ (1 - t)^(1/m) * t^(1/n - 1) dt]
Das ist aber gerade das Beta Integral!
MMa = 1/n * B ( 1/n ; [1/m + 1] )
Wir drücken MMa durch die Gammafunktion aus:
MMa = 1/n * { G(1/n) * G(1/m + 1) } / G(1/n + 1/m + 1)
oder
MMa = 1/(m+n) * { G(1/n)*G(1/m) } / G(1/n + 1/m)
D.h. für:
MM1 = 1/7 * {G(1/3)*G(1/4)} / G(7/12)
MM2 = 1/7 * {G(1/4)*G(1/3)} / G(7/12)
MM1 = MM2
Ein fantastisches Ergebniss!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3920
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 07:58: |
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Hi Ferdi
Das ist alle sehr gut gelaufen!
Bravo!
Zum Plausch füge ich meine letztjährige Lösung
zur allgemeinen Aufgabe mit m und n im Wortlaut bei:
„Ich löse die etwas allgemeinere Aufgabe:
Gesucht wird das Integral in den Grenzen
t = 0 bis t = 1 über f(t) = (1 – t^m) ^ 1/n .
Das Resultat ist auszudrücken durch die
Betafunktion B(p,q) oder durch Werte der
Gammafunktion G(x).
Wir gehen aus von der Definitionsgleichung
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx
in den genannten Grenzen
Es ist erstaunlich, wie hilfreich geeignete
Substitutionen bei der Betafunktion sein können.
Wir werden dies noch in einem andern
Zusammenhang erfahren.
Für unser Thema bietet sich die Substitution
x = t^m , dx = m t^ (m-1) an.
Wir erhalten nach kurzer Rechnung
B(p,q) = m * int [t^(mp-1) (1-t^m) ^(q-1)] dt
in denselben Grenzen.
Nun sei p = 1/m, q = 1 + 1/n; dann entsteht das Integral
in den Grenzen t = 0 bis t = 1 mit dem einfachen
Integranden g(t) = (1 – t^m) ^1/n .
Das bestimmte Integral ist gleich zu setzen dem Wert
1/m * B (1/m ; 1 +1/n)
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Für m = 3 , n = 4 entsteht unsere Aufgabe.
Das Resultat kann mittels der Gammafunktion so
geschrieben werden:
1/m G(1/m) G(1+1/n) / G (1 + 1/n+1/m)
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Ende Zitat
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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