Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3817 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 12:32: |
|
Hi allerseits Mit der Integral-Aufgabe O3 kommt die Aufgabe LF 305; sie lautet: Aufgabe LF 305 Für alle x-Werte des Intervalls a <= x <= b gelte: f(a +b - x) = f(x). Mit f(x) als Integrand wird das bestimmte Integral F1 = int [f(x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b gebildet. Mit x* f(x) als Integrand wird das bestimmte Integral F2 = int [ x* f(x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b gebildet. Sei m das arithmetische Mittel der Grenzen, also m = ½ (a+b). Man beweise die Relation F2 = m * F1 °°°°°°°°°°°° Hinweis Zur Illustration verwende man das Beispiel: f(x) = x^2 – 4 x + 5 mit a = -1 , b = 5. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1262 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 14:39: |
|
Hi megamath, ich weiß nicht ob das so geht: Für das Intervall gilt: f(a+b-x) = f(x) daraus würde ich folgern: a+b-x = x x = (a+b)/2 Das würde ich dann in F2 einsetzen und hätte sofort die ausage stehen! F2 = (a+b)/2 * int[f(x) dx] ==> (a+b)/2*F1 = F2 Bei diesem Bespiel handelt es sich um eine Parabel: F1 = int[f(x) dx] = 24 ==> (a+b)/2 * F1 = 48 F2 = int[x * f(x) dx] = 48 q.e.d. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3819 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:16: |
|
Hi Ferdi Ganz so einfach ist es nicht; es gilt nicht x = m. Geometrischer Hintergrund: Für alle x aus dem Intervall gilt: Die Punkte P(a+b-x/0) und Q(x/0) haben den von x unabhängigen Mittelpunkt Z(m/0) mit m = ½ (a+b). Die Aufgabe kann elegant mit dem Resultat aus der Aufgabe LF 304 gelöst werden. LF 304: Gegeben ist die im Intervall [a,b] integrierbare Funktion G(x). Man bilde damit die beiden bestimmten Integrale M1 = int [G (x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b und M2 = int [G (a+b-x) dx], untere Grenze a, obere Grenze b. Dann gilt: M1 = M2. Mit der in Aufgabe LF 305 gegebenen Funktion f(x) bilde man G(x) = x * f(x). Berechnung von G(a+b-x): G(a+b-x) = (a+b-x)*f(a+b-x) Daher nach Voraussetzung über f(x): G(a+b-x) = (a+b-x)*f(x). Nun bilden wir die Integrale M1 und M2, die ja gleich sind; jedes Mal: untere Grenze a, obere Grenze b. M1 = int [G (x) dx] = int [x f(x) dx] M2 = int [G (a+b-x) dx] = int [(a+b-x) * f(x) dx] = (a+b) * int [f(x) dx] - int [x f(x) dx], Aus M1 = M2 folgt 2* int [x f(x) dx] = (a+b) int [f(x) dx],also int [x f(x) dx] = ½ (a+b) int [f(x) dx] = m* int [x f(x)]dx quod erat…….. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1264 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:21: |
|
Hi megamath, ich dachte mir schon das es nicht so einfach sein konnte ! Ich hatte auch erst die Idee eine der vorhergehenden Aufgaben zu nutzen, aber es sah so schön aus... Da hab ich mir selbst ein Ei zu Ostern gelegt ! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3821 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. April, 2004 - 17:32: |
|
Hi Ferdi So kommt ein Ei zum andern! Gut Ei wünscht H.R.Moser,megamath |
|