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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1611
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. April, 2004 - 21:50: | 
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Hallo liebe Community,
ich vermute, dass die Reihe
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
die Summe 2/3 hat. Kann das jemand begründen? Besten Dank im Voraus
Z. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 825
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:22: |
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Hallo Zaph,
Bis auf den Faktor 2 ist der n-te Summand
an = 4n*n!*(n+1)!/(2n+3)!
Maple bestätigt in der Tat, dass
S := S¥ n=1 an = 1/3
Ich nehme an, dass Du auch schon soweit bist.
Vielleicht fällt mir noch etwas Gescheites dazu ein.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3864
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:35: |
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Hi Zaph
Ohne Gewehr:
Probiere es mit der Darstellung:
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
=2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
Begründung mit vollständiger Induktion
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3865
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 08:46: |
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Hi Zaph
Ohne Gewehr:
Probiere es mit der Darstellung:
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
=2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
Begründung mit vollständiger Induktion
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 14:07: |
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Ja, es trifft zu, dass
S(n) := Sn k=1 ak
= 1/3 - 22n+1[(n+1)!]2/(2n+3)!
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. April, 2004 - 21:59: |
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Hallo allerseits,
bin gerade nur auf der "Durchreise", freue mich aber für die (auf den ersten Blick sehr hilfreichen) Hinweise! Komme leider erst Anfang nächster Woche dazu, mir das näher anzusehen, melde mich dann aber wieder.
Vielen Dank schon mal
Zaph |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3889
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 20:18: |
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Hi Zaph
Zunächst soll die endliche Summe
2/(3*5) + 2*4/(3*5*7) + 2*4*6/(3*5*7*9) + 2*4*6*8/(3*5*7*9*11) + ...
mit n Summanden als Funktion S = S(n) kompakter dargestellt
werden.
Zur Herleitung verwende ich das so genannte Differenzen-Verfahren,
das von mir bereits in der Serie „Reihensumme gesucht“ mehrfach
vorgeführt wurde.
Das allgemeine Glied der Reihe ist
a(k) = [2*4 ……..*(2k)] / [3*5*…………*(2k+1)*(2k+3)]
k = 1,2,3..…n.
Eingebung(hihi); wir kreieren
b(k) = [2*4 ……..*(2k)*(2k+2)] / [3*5*…………*(2k+1)*(2k+3)]
und finden nach kurzer Rechnung:
b(k-1) - b(k) = a(k)
Diese Relation wird summiert von k = 1 bis k = n.
Wir erhalten:
b(0) – b(n) = S(n),rechts steht die gesuchte Summe.
b(0) ist aber 2/3,
so dass - deus ex machina -
die Formel
S(n) =2/3 – [2*4*6…(2n+2)] / [3*5 *7 ………(2n+3)]
entsteht, auf die ich schon früher hingewiesen habe,
und die Dir sicher gute Dienste leisten wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1614
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 22:17: |
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Hallo Megamath und Orion!
Vielen Dank! Das hat mir geholfen! Und das Differenzenverfahren ist wirklich nett ... wenn man denn die Eingebung hat ;-)
Hieraus ergibt sich dann ja auch
Pk :=
1/(2k+1) + 2k/[(2k+1)*(2k+3)] + 2k*(2k+2)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)] + 2k*(2k+2)*(2k+4)/[(2k+1)*(2k+3)*(2k+5)*(2k+7)] + ...
= 1
für alle k. Denn P1 = 1/3 + 2/3 = 1 ... s.o.
Und mit Induktion:
Pk = 1/(2k+1) + 2k/(2k+1) * Pk+1
=>
Pk+1
= (2k+1)/(2k) * (Pk - 1/(2k+1))
= (2k+1)/(2k) * (1 - 1/(2k+1))
= 1
Viele Grüße
Zaph |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1616
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 22:34: |
|
Siehe auch hier. |
