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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3706
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. März, 2004 - 21:25: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 268.
Die Aufgabe LF 268 ist ganz auf die Aufgabe
LF 267 fokussiert (nomen est onmen)!
Gegeben sind die Parabel p , Gleichung y ^ 2 = 2 p x
und der Kreis k, Gleichung x^2 + y^2 = p x
als INVERSIONSKREIS .
Eine weitere Rolle hat der Scheitelkrümmungskreis sk
der Parabel.
a)
Spiegele die Parabel samt dem Scheitelkrümmungskreis
am Inversionskreis.
Aus p entsteht als Bildkurve, wie wir wissen, eine Kardioide ka,
aus sk entsteht als Bildkurve, wie wir leicht einsehen, ein Kreis c.
Man berechne den Radius von c.
b)
Man weise rechnerisch nach, dass der Radius von c
mit dem Krümmungsradius der Kardioide ka in ihrem
Berührungspunkt mit dem Bildkreis c von sk
übereinstimmt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1202
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 18:40: |
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Hi megamath,
mir fält es doch schwer die Polarkoordiantendarstellung von sk zu finden! Mein Problem liegt wohl darin, das nicht O der Pol ist!
Gibt es für den neuen Pol spezielle Gleichungen für x und y wie bei O als Pol?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3709
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 20:09: |
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Hi Ferdi
Die Aufgabe hat ihre Tücken!
Sie muss mit besonderer Sorgfalt gelöst werden.
Ich zeige nun meine Lösung der Teilaufgabe a):
Der Scheitelkrümmungskreis sk hat den Mittelpnkt Z(p/0)
und den Radius p; er schneidet somit die x-Achse ausser im
Nullpunkt O noch im Punkt Q(2p/0).
Der Bildkreis c von sk bei der Spiegelung am Inversionskreis
x^2 + y^2 = p x ( Mittelpunkt F ( ½ p / 0), Radius ½ p )
ist zur x-Achse symmetrisch.
Ist Q* der Bildpunkt von Q bei dieser Spiegelung, so erhalten
wir einen Durchmesser des Kreises c als Länge der Bildstrecke
O* Q* = O Q*; man beachte, dass O* mit O zusammenfällt,
da O auf dem Inversionskreis liegt.
Mit Hilfe des Gesetzes für die Abbildung durch reziproke Radien
erhalten wir für den Abstand d des Punktes Q* vom
Inversionszentrum F:
d = ¼ p^2 / [2p - ½ p] = ¼ p^2 / [ 3p/2 ] = p / 6
Daraus ergibt sich die Streckenlänge OQ* = p / 6 + ½ p = 2 p / 3
Der Radius des Kreises c ist somit
½ OQ* = p/3
°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1203
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. März, 2004 - 21:30: |
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Hi megamath,
da hätte ich ja lange Rechnen können! Auf diese Idee wäre ich wohl nicht gekommen! Besten Dank, da hab ich wieder was gelernt!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3710
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 07:19: |
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Hi allerseits
Lösung der Teilaufgabe b) zur Aufgabe LF 268:
Wir gehen aus von der Polarkoordinatendarstellung
der Kardioide, die nach der Aufgabe LF 267 lautet:
r = k ( 1 – cos(phi)) mit k = ¼ p.
Pol ist der Brennpunkt F(½ p / 0) der Parabel y^2 = 2 p x,
Polarachse die x-Achse.
Wir berechnen zuerst den Krümmungsradius rho
im allgemeinen Punkt nach der Formel
rho = [(r^2 + r´ ^2) ^ (3/2) ] / [ r^2 + 2 r´^2 - r r ´´ ]
mit r ´ = k sin(phi)
r´´ = k cos(phi)
Der vereinfachte Zähler Z von rho lautet:
Z = 8 k^3 (sin ½ phi)^3
der vereinfachte Nenner N von rho lautet:
N = 6 k^2 (sin ½ phi)^2
Damit erhalten wir für rho:
rho = 4 k / 3 * sin (½ phi); mit k = ¼ p kommt:
rho = p / 3 * sin (½ phi).
Im Berührungspunkt der Kardioide mit dem Bildkreis c von sk,
d.h. im Nullpunkt O, gilt phi = Pi, somit ist der Krümmungsradius
daselbst:
rho = p / 3 ; dies entspricht dem Resultat aus Teilaufgabe a)
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1204
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 12:06: |
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Hi megamath,
Besten Dank für deine Lösung! Ein intersanntes Ergebniss, finde ich, deshalb frage ich mich gerade ob das Ergebniss bei Aufgabe b) reiner Zufall ist, oder ob sich das verallgemeinern lässt?
Gibt es Zusammenhänge zwischen Scheitelkrümmungskreise von Kegelschnitten und deren Bildern bei der Inversion am Kreis?
Hast du da irgendwelche Informationen? Wär mal interesant zu wissen!
mfg |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1038
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 12:46: |
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@TI98
Bitte, Ergebnis schreibt man immer nur mit einem s (auch nach der NDR)!
Gr
mYthos
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3711
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. März, 2004 - 13:18: |
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Hi Ferdi
Die Sache hat so gut funktioniert, weil die Inversion am Kreis eine
kreistreue Abbildung ist, dies im weitesten Wortsinn
und weil mehrfache Berührung bei dieser Abbildung erhalten bleibt.
Als Nächstes empfehle ich Dir, die entsprechende Aufgabe bei einer Ellipse
durchzuführen.
Der Mittelpunkt des Inversionskreises liege in einem der beiden Brennpunkte
und läuft durch den zugehörigen Hauptscheitel.
Ins Spiel wird dann der Krümmungskreis dieses Scheitels gebracht!
usw.
Viel Erfolg und viel Vergnügen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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