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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3658 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 10:28: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 253 Man bestimme die Krümmungsradien an den Extremalstellen der Funktionskurve von y = ax^3 + bx^2 + cx + d. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1174 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 10:47: |
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Hi megamath, f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b Extrema: f'(x) = 0 ==> x = [ -2b +- sqrt(4b^2 - 12ac) ] / 6a Krümmungkreisradius: rho = ( 1 + f'(x) )^(3/2) / f''(x) Da f'(x) bei Extrema = 0, folgt: rho = 1/f''(x) rho = +-1/ [2 * sqrt( b^2 - 3ac)] Wobei ein negativer Radius keinen Sinn macht. Man müsste wohl noch einschränken: b^2 > 3ac damit ein reeller Kreis entsteht. Bei Gleicheit hätten wir Division durch 0!! mfg (Beitrag nachträglich am 06., März. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3660 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 11:04: |
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Hi Ferdi Die Resultate (Plural) sind richtig! Insbesondere hat Deine angegebene Ungleichung einen tieferen Sinn. Ich komme auf die Angelegenheit zurück`! Besten Dank für die Lösung. MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1176 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 16:32: |
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Hi, du machst mich neugierig! Was kann den die kleine unscheinbare Ungleichung für einen tieferen Sinn haben...??? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3663 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 06. März, 2004 - 19:27: |
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Hi Ferdi Zum Abschluss noch ein paar Bemerkungen: 1. Der Graph einer ganzen rationalen Funktionen dritten Grades y = ax^3 + bx^2 + cx + d mit a nicht null ist in Bezug auf den Wendepunkt W dieser Kurve zentralsymmetrisch; Hochpunkt H und Tiefpunkt T sind entsprechende Punkte der zugehörigen Abbildung. Die Beträge der Krümmungen in H und T stimmen daher überein. 2: Dass in den Berechnungen die Krümmung auch mit negativem Vorzeichnen erscheinen kann, rührt natürlich daher, dass y´´ für sich allein im Zähler steht. Für Kurvenstücke, die von unten (in Richtung der pos.y-Achse) gesehen konkav sind, ist y´´ negativ und damit auch kappa gemäss der verwendeten Formel 3. Meine Bemerkung bezüglich der kleinen Ungleichung ist nicht weltbewegend. Nur dies: sie tritt schon bei der quadratischen Gleichung zur Ermittlung der Nullstellen der ersten Ableitung auf, d.h. in der Gleichung 3 a x^2 + 2 b x + c = 0 ,wenn man fordert, dass die Lösungen der Gleichung reell sein sollen. Diskriminante D = 4 b^2 – 12 a c > 0; dies ist äquivalent mit b^2 – 3 a c > 0 , und das ist die inkriminierte Ungleichung. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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