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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3519 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 16:55: |
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Hi allerseits Die Serie „Raumkurven“ hat, wie jede Wurst, zwei Enden! Das erste Ende war die Aufgabe LF 218, das zweite erscheint als Aufgabe LF 219: Von einer Raumkurve c kennt man die Projektionen auf die Koordinatenebenen: y = ½ a x^2 (a>0); Parabel, nach oben offen, Scheitel in O z = 1/6 a b (2/a ) ^ (3/2) * y ^ (3/2); Neilsche Parabel, Spitze in O. z = 1/6 a b * x^3; kubische Parabel, Terrasse in O. Man berechne die Krümmung kappa und die Torsion tau der Kurve im Nullpunkt. Bemerkungen 1. Die Aufgabe lässt sich auf die Aufgabe LF 218 zurückführen. 2. Bedeutung: die Aufgabe realisiert die Projektionen einer Raumkurve in der Umgebung eines laufenden Punktes auf die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1128 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 20:58: |
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Hi megamath, ich setze x = t, daraus aus I) y = (1/2) a t^2 aus III) z = (1/6) a b t^3 Nun sind wir wieder bei der Parametrisierung von LF218! Also K = a und T = b! Die Projektionen erhält man also indem man aus jeweils zwei Gleichungen den Paramter t entfernt!! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3520 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 21:17: |
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Hi Ferdi Das ist der Lösungsweg,den ich erwartet habe! Morgen erscheint noch ein kleiner Kommentar dazu. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3521 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 16:29: |
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Hi Ferdi Kurzkommentar zur Aufgabe LF 219: Mit Hilfe des Satzes von Taylor lässt sich der Ortsvektor r = r(s) des laufenden Punktes P der Rumkurve (TF!) nach Potenzen der Bogenlänge s entwickeln. In ersten Näherungen erhält man die in der Aufgabe angegebene Werte für die einzelnen Vektorkoordinaten; wir bezeichnen diese im Folgenden mit X,Y,Z. Bezeichnungen im zugehörigen begleitenden Dreibein: Tangente;Richtungs-Einheitsvektor r1 Hauptnormale;Richtungs-Einheitsvektor r2 Binormale;Richtungs-Einheitsvektor r3 K:Krümmung T:Torsion I) Lokales (X,Y)-Koordinatensystem, Basis-Einheitsvektoren r1,r2 Projektion der Kurve auf die Schmiegungsebene (X,Y) unter Weglassung von Gliedern höheren Grades: Y = ½ K* X^2, wegen K>0 nach oben offene Parabel. II) Lokales (Y,Z)-Koordinatensystem, Basis-Einheitsvektoren r2,r3 Projektion der Kurve auf die Normalebene (Y,Z); unter Weglassung von Gliedern höheren Grades: Z = 1/6 K T *(2/K)^(3/2)*Y^(3/2), das ist die Gleichung einer Neilschen Parabel. III) Lokales (X,Z)-Koordinatensystem, Basis-Einheitsvektoren r1,r3 Projektion der Kurve auf die rektifizierende Ebene (X,Z); unter Weglassung von Gliedern höheren Grades: Z = 1/6 K T * X^3, das ist die Gleichung einer kubischen Parabel. Damit verabschieden wir uns vom begleitenden Dreibein! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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