| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3484
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 18:00: | 
|
Hi allerseits,
In Aufgabe LF 210 die Torsion tau der Schraubenlinie
berechnet werden.
Es folgt die Beschreibung des Begriffs der Torsion
einer Raumkurve.
Vorausgesetzt wird im folgenden, dass die Raumkurve
mit Hilfe der Bogenlänge s dargestellt ist:
Ortsvektor r des laufenden Punktes P der Kurve:
r = r(s) = {x(s),y(s);z(s)}
daraus:
v = r´ ist die Ableitung des Vektors r nach s (Tangentenvektor):
v = {x°(s);y°(s);z°(s)}
w = r´´ ist die Ableitung des Vektors v nach t (Beschleunigungsvektor)
w = {x°°(s);y°°(s);z°°(s)}
Wir werden Gebrauch machen von der Beziehung
w = dv/ds = kappa * n …………………………………………………………(F1)
Dabei ist kappa die Krümmung und
n der Normaleneinheitsvektor der rektifizierenden Ebene.
Der Binormalenvektor (Normalenvektor der Schmiegungsebene)
b ist das Vektorprodukt der Vektoren v und n.
b = v x n. Auch b ist Einheitsvektor, somit
b ^ 2 = 1 (Skalarprodukt des Vektorproduktes mit sich).
Die Ableitung der letzten Gleichung nach s gibt
b b´ = 0 (b steht auf b´ senkrecht)....................................................................(1)
Auch die Vektoren b und v stehen aufeinander senkrecht,
ihr Skalarprodukt ist null.
Aus b v = 0 folgt durch Ableitung nach s (Produktregel):
b´ v + b v´ = 0, oder v * db/ds = - b *dv/ds, also (verwende F1):
v * db/ds = - b *dv/ds = - kappa * b n = 0 ,
denn b und n sind orthogonal!
Schluss:
Der Vektor db/ds steht senkrecht auf dem Vektor v
und a priori auch auf dem Vektor b, also ist er parallel zum Vektor n;
wir können ansetzen:
db/ds = - tau * n……………………………………………………………(F2)
tau wird per definitionem als Torsion oder Windung der Kurve
in P bezeichnet.
Anm.
1.
db/ds drückt die Richtungsänderung der Binormalen
oder auch die Drehung der dazu senkrechten Schmiegungsebene
um die Tangente als Achse beim Lauf des Punkte P auf der Kurve aus.
Je nachdem b parallel oder antiparallel zum Vektor b ist, wird
tau negativ oder positiv.
tau > 0: die Kurve heißt rechts gewunden,
tau < 0: die Kurve heißt links gewunden,
Der Betrag von kappa misst die Größe dieser (Ver)drehung.
2.
Die Gleichungen F1 und F2 bilden Bestandteil der so genannten
Frenetschen Gleichungen, benannt nach
Jean Frédéric Frenet (1816-1900).
Die Aufgabe LF 210 lautet:
Man berechne die Torsion für die Schraubenlinie
x = a cos t , b = a sin t , z = b t.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3485
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 18:59: |
|
Hi allerseits
unter Punkt 1. der Anmerkungen muss
es richtig heissen:
"Der Betrag von tau misst die Größe dieser Drehung."...........
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1108
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:47: |
|
Hi megamath,
kann es sein, dass:
tau = b / (a^2 + b^2) ??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3487
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 14:36: |
|
Hi Ferdi
Dein Resultat ist richtig; congratulation!
Im Gegensatz zur Krümmung einer Raumkurve
kann ihre Torsion auch negative Werte annehmen.
Gemeine Schraubenlinie (helix vulgaris):
Für positive b-Werte ist tau positiv; wir haben
eine Rechtsschraube.
Für negative b-Werte ist tau negativ; wir haben
eine Linksschraube.
Bei einer Schraubenlinie sind sowohl kappa als auch tau
konstant.
Wir werden bald andere Raumkurven kennen lernen,
bei denen diese Eigenschaft nicht mehr zutrifft.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
