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Beweis, dass 0,999999999999... = 1

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Tantor (Tantor)
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Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 10:15:   Beitrag drucken

Hallo, ich soll mittels Reihe beweisen, dass 0,999999999999...... = 1 ist ? Hat jemand eine Idee ?
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 965
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 10:40:   Beitrag drucken

0,9999999 = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ....

das ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem ersten Glied b1 = 9/10, deren Quotient ist 1/10 und deren Summe ist endlich, nach der Formel

Soo = b1/(1 - q) ist

Soo = (9/10)/(1 - 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1
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Die Summenformel der unendlichen g. Reihe ergibt sich als Grenzwert der Summen der endlichen geometr. Reihe für |q| < 1 !

Soo = lim[n -> oo](s_n) = lim[n -> oo][b1 * (1 - q^n) / (1 - q)]
da lim q^n für |q| < 1 gleich 0 ist, folgt

Soo = lim[n -> oo](s_n) = b1 / (1 - q)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos


(Beitrag nachträglich am 18., Februar. 2004 von mythos2002 editiert)
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Tantor (Tantor)
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Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 16:38:   Beitrag drucken

Jo, danke !
Also wenn man den Ansatz hat mit den Zehntel, Hunderstel und so, dann ist es ja ganz einfach auf die Geometrische Reihe zu kommen, noch ein wenig Indexverschiebung und schon ist man ja da.
Danke
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 677
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 23:27:   Beitrag drucken

Gibt noch eine simple und trickreiche Methode (klappt um alle periodischen rationalen Zahlen in Brüche zu verwandeln)

x = 0,9999999999999999999999999.... | * 10
10x = 9,999999999999999999999999....
wir kennen 10x und x,
die Differenz bildet klarerweise 9x, also machen wir mal, links - links und rechts - rechts

9x = 9 <-- die dezimalstellen fallen alle weg :-)
x = 1 <-- damit ist es gezeigt

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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