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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3443
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 18:36: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 200 beginnt eine Serie von
Aufgaben über Raumkurven aus dem Gebiet
der Anfangsgründe der Differentialgeometrie.
Es wird die Rede sein von
Tangenten, Normalen, Binormalen, von
Krümmung (curvature) und Torsion,
von Normalebenen,
Schmiegungsebenen (osculating planes) und
rektifizierenden Ebenen (rectifying planes)
vom begleitenden Dreibein (moving trihedral of a curve)
etc.
Zunächst Aufgabe LF 200:
Eine Raumkurve (skew curve) ist durch eine Darstellung mittels
Parameter t wie folgt gegeben:
x = t ^ 2 + 1, y = 2 t – t ^ 2 , z = 4 t
Man beweise, dass es sich um eine ebene Kurve (plane curve)
handelt.
Man versuche, den Beweis auch so zu führen, dass der
Vektor
r = {x(t),y(t),z(t)} und seine erste und zweite Ableitung nach t,
d.h. die Vektoren
r° = {x°(t),y°(t),z°(t)} und
r°° = {x°°(t),y°°(t),z°°(t)}
zum Zug kommen; dabei bedeutet z.B. z°° die zweite Ableitung
von z(t) nach t etc.
Anm.
Die englischen Fachausdrücke in den Klammern habe ich angebracht,
weil ich von einem sehr geneigten Leser darum gebeten wurde!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1096
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 19:42: |
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Hi megamath,
das hört sich gut an, auch wenn ich einiges Begriffe die du nennst noch nie gehört habe!! Da gibts wieder was zu lernen!
Hier mein versuch:
r = { t^2+1 , 2t-t^2 , 4t }
r° = { 2t , 2-2t , 4 }
r°° = { 2 , -2 , 0 }
Bildet man nun r° x r°° = u :
u = { 8 , 8 , -4 } = 4 * { 2 , 2 , -1 }
Dieser Vektor ist unabhängig von t! Es ist ein Normalenvektor der Ebene in der die Kurve liegt, wir fodern nun noch das der Vektor r in der Ebene liegt, es bleibt dann alles t-frei:
2x + 2y - z = d
2(t^2+1) + 2(2t-t^2) - 4t = d
d = 2
E: 2x + 2y - z = 2
Die Kurve ist eben, den sie in E liegt!
Man könnte ja auch t eliminieren und die entstehende Gleichung untersuchen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3444
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 20:22: |
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Hi Ferdi,
das ist sehr gut so !
Die Aufgabe 200 ist eine Einstimmung auf das Nachfolgende: LF 201,LF 202.....ad ?
Da kommen Kurven vor,die nicht mehr eben sind
und von ihrer Torsion und Krümmung leben.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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