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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3366 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 15:53: |
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Hi allerseits
Aufgabe LF 185: Gegeben ist das Rotationsparaboloid x^2 + y^2 = 2 p z (p konstant, ungleich null). Jede Ebene E mit der Gleichung A x + B y + z = D schneidet das Paraboloid in einer Ellipse, deren Projektion auf die (x,y) – Ebene ein Kreis k ist. Man berechne den Radius R dieses Kreises. Welche Relation zwischen den Koeffizienten p, A ,B, D muss erfüllt sein, damit k ein Nullkreis ist? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1070 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 17:17: |
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Hi, wo wir schon dabei sind, machen wir gleich weiter! Um die Projektion auf die Ebene z = 0 zu bekommen, eliminiert man aus den gegebenen Gleichungen z! x^2 + y^2 = 2pz z = D - Ax - By ==> x^2 + y^2 = 2pD - 2pAx - 2pBy x^2 + y^2 + 2pAx + 2pBy = 2pD (x+pA)^2 + (y+pB)^2 = 2pD + p^2A^2 + p^2B^2 Dies stellt einen Kreis dar, mit dem Radius: r = sqrt(2pD + p^2A^2 + p^2B^2) Soll nun ein Nullkreis entstehen, so muss ja r = 0 gelten, oder auch (erst Recht!) r^2 = 0! 2pD + p^2A^2 + p^2B^2 = 0 p * (A^2 + B^2) = - 2D Dies ist die Raltion die erfüllt sein muss, so das k ein Nullkreis ist! mfg |
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3368 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 19:46: |
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Hi Ferdi,
Schon wieder ein richtiges Resultat! Bravo! Morgen zeige ich noch eine andere Lösungsmethode. MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1072 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 21:32: |
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Hi megamath, ich bin gespannt. Freue mich schon auf deine Lösung. Werde sie mir dann morgen Abend nach Dienstschluss zu Gemüte führen ! mfg |
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3374 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 10:21: |
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Hi Ferdi
Hier die andere Möglichkeit: Der gesuchte Nullkreis ergibt sich als die Normalprojektion des Berührungspunktes P1(x1/y1/z1) einer Tangentialebene T der Fläche auf die (x,y)-Ebene; Wir identifizieren die Ebene T mit der gegebenen Ebene E. T durch Polarisation: x1 x + y1 y – p (z + z1) = 0 oder: x1 x + y1 y – p z = p z1 Ebene E A x + B y + z = D Wenn E und D identisch sein sollen, muss gelten: x1 / a = y1 / B = - p = p z1 / D Daraus: x1 = - p A y1 = - p B z1 = - D Dies setzen wir in die Gleichung für E ein und bekommen - p A^2 – p B^2 – D = D oder : p = - 2 D / (A^2+B^2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1073 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 16:05: |
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Hi megamath, auch eine raffinierte Methode! Ich bin entzückt. mfg |
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