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beweis..hilfe

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Derpuma (Derpuma)
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Benutzername: Derpuma

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 15:22:   Beitrag drucken

hilfe, vielleicht weiss jemand, wie folgendes geht...
seien f,g: R->R definiert durch

f(x)=1/2(exp(x)+exp(-x)), g(x)=1/2(exp(x)-exp(-x))

man soll für alle x,y Elemt R zeigen:
a)f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
b)g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)
c)[f(x)]^2-[g(x)]^2=1


Liebe Grüße, Nadine
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 974
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi!

Das geht alles über die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion: exp(x+y) = exp(x)*exp(y)

a)
f(x)f(y) + g(x)g(y) = 1/2*(exp(x)+exp(-x))*1/2*(exp(y)+exp(-y)) + 1/2*(exp(x)-exp(-x))*1/2*(exp(y)-exp(-y))

= 1/4*(exp(x)*exp(y) + exp(x)*exp(-y) + exp(-x)*exp(y) + exp(-x)*exp(-y)) + 1/4*(exp(x)*exp(y) - exp(x)*exp(-y) - exp(-x)*exp(y) + exp(-x)*exp(-y))

= 1/4*(2*exp(x)*exp(y) + 2*exp(-x)*exp(-y))

= 1/2*(exp(x)*exp(y) + exp(-x)*exp(-y))

= 1/2*(exp(x+y) + exp(-x-y)) (Funktionalgleichung)

= f(x+y)

Die anderen beiden gehen ähnlich. Vielleicht komme ich noch dazu...


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
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Kratas (Kratas)
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Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 16:26:   Beitrag drucken

zu c)
(0,5*exp(x)+0,5exp(-x))^2-(0,5*exp(x)-0,5exp(-x))^2=1/4*exp(2x)+0,5+1/4*exp(-2x)-1/4*exp(2x)+0,5-1/4 *exp(-2x)=1 q.e.d

Gr
Kratas
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Dudi (Dudi)
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Benutzername: Dudi

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 11:19:   Beitrag drucken

hab ne frage,wie kann man zeigen dass f(x) und g(x) stetige funktionen sind??

Lg dudi
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 454
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 12:06:   Beitrag drucken

Hallo Dudi!
Solange du nicht konkrete Beispiele für f und g angibst, kann man nur sagen: Sieh dir die Definition der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle a Î D(f) an:
f ist stetig an einer Stelle a Î D(f) Û f(x)=lim f(x) für x ® a.
f ist eine stetige Funktion Û f ist über ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Dudi (Dudi)
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Benutzername: Dudi

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 15:41:   Beitrag drucken

die frage war natürlich auf die ausgangsfunktionen bezogen ^^
f(x)=1/2(exp(x)+exp(-x)), g(x)=1/2(exp(x)-exp(-x))
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 458
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 22:43:   Beitrag drucken

OIC :-)
Nun, reicht es dir dann nicht, wenn du sagst:
Die e-Funktion ist eine stetige Funktion. Die Verkettung stetiger Funktionen ist ebenso wie die Summe, die Differenz und das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig - fertig?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Derpuma (Derpuma)
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Benutzername: Derpuma

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2004
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 02:30:   Beitrag drucken

danke für die vielen antworten.....
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Dudi (Dudi)
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Benutzername: Dudi

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 17:01:   Beitrag drucken

irgendwie schon aber ich würd gern nen beweis dazu sehn..aber was solls

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