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Beitrag |
    
Stefanb (Stefanb)
Junior Mitglied
Benutzername: Stefanb
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 11:13: | 
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mittag.....
Die Teilmenge X c R gebildet aus den Nullstellen aller quadratischen Gleichungen x^2+px+q=0 mit rationalen p und q, ist abzählbar.
Ich weiss nicht wie ich die Aussage beweisen soll...stefan
(endl. supremum ist natürlich falsch gewählt als thema)
(Beitrag nachträglich am 05., Januar. 2004 von stefanb editiert) |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 757
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Januar, 2004 - 18:11: |
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Stefanb,
Hinweis:
Die Menge Q der rationalen Zahlen ist bekanntlich
abzählbar, also ist auch das kartesische Produkt
QxQ abzählbar, und daher gilt dasselbe auch
für die Menge aller quadratischen Polynome
x2 + px + q mit p,q € Q. Jedes solche Polynom hat höchstens 2 Nullstellen, und da X unendlich ist, so
ist X abzählbar (genauer: abzählbar-unendlich).
Variante: p=b/a, q=c/a (gekürzte Brüche) betrachte
f(x):=ax2+bx+c . Ordne diesem Polynom die natürliche Zahl h(f):= |a|+|b|+|c| zu. Zu gegebenem
n € N gibt es nur endlich viele f mit h(f)=n, die
entsprechende Nullstellenmenge sei Xn. Dann ist
X = Vereinigung aller Xn, n€N. Die Vereinigung
abzählbar vieler endlicher Mengen ist abzählbar.
Verallgemeinerung: Die Menge aller reellen algebraischen Zahlen (Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades mit ganzzahligen Koeffizienten) ist abzählbar.
mfG Orion
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