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Derpuma (Derpuma)
Neues Mitglied
Benutzername: Derpuma
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 22:37: | 
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kann mir jemand bei folgendem sagen wie das geht?
Ich habe 2 Funktionen..
Die Funktionen cosh: R->R (cosinushyperbolicus) und
sinh: " (sinus " " ) sind definiert durch:
cosh(x):=1/2(exp(x)+exp(-x)), sinh(x):=1/2(exp(x)-exp(-x)), x Elemt. R
man soll folgendes zeigen:
a)
sinh bildet R auf R bijektiv ab.Für die Umkehrfunktion Ar sinh( Area sinus hyperbolici) gilt Ar sinh(x)=log(x+ sqrt(1+x^2)), x Elemt. R
b)
cosh bildet R+ bijektiv auf [1, infin.[ ab.
Für die Umkehrfunktion Ar cosh gilt Ar cosh(x)=log(x+sqrt(x^2 -1)), x Elemt. [1,infin.[
sqrt= wurzel von....
infin.=unendlich
grüße
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 626
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Januar, 2004 - 02:48: |
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a.)
sinh(-x) = -sinh(x) <-- zeige diese Symmetrie (ungerade) sowie die strenge monotonie => injektiv und surjektiv => bijektiv
b.)
cosh(-x) = cosh(x) <-- zeige diese Symmetrie (gerade) => nicht injektiv => nicht bijektiv
(Beitrag nachträglich am 15., Januar. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 880
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Januar, 2004 - 15:57: |
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Für die Umkehrfunktion y = arsinh(x) löst du die Gleichung
x = (1/2)(exp(y) - exp(-y))
nach y auf; setze z = exp(y)
2x = z - 1/z
z² - 2xz - 1 = 0
z1,2 = x +/- sqrt(x² + 1) x € R
Nun wird die Substitution gelöst:
exp(y) = x + sqrt(x² + 1)
y = ln(x + sqrt(1 + x²))
-> arsinh(x) = ln(x + sqrt(1 + x²))
Bemerkung: Das zweite (negative) Vorzeichen ist unbrauchbar, denn sqrt(1 + x² ) > x und dann wäre der Logarithmand negativ.
Die Vorgangsweise für arcosh(x) ist sehr ähnlich und könnte dir alleine gelingen ....
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 15., Januar. 2004 von mythos2002 editiert) |
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