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Matrix ABCD

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Alisia (Alisia)
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Neues Mitglied
Benutzername: Alisia

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 18:43:   Beitrag drucken


bitte, kann mir jemand dringend mit dieser Aufgabe helfen?

Bestimmen Sie jene Matrix
AB
CD
welche bei Multiplikation mit allen anderen 2x2 Matrizen kommutieren.

Wahrscheinlich mache ich irgendwo ein Fehler, weil ich nicht zu dem richtigen Ergebnis komme:

ich habe eine Mtx ABCD und die multipliziere ich mit der Mtx EFGH und das ist gleich EFGH x ABCD,
AE + BG AF + BH
CE + DG CF + DH
=
EA + FC EB + FD
GA + HC GB + HD

jetzt weiß ich aber nicht, wie ich weiter machen soll.

Vielen, vielen Dank für eure Hilfe und Zeit,

Alisia






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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 364
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 19:32:   Beitrag drucken

Hallo Alisia!
Dein Ansatz ist genau richtig. Wann sind 2 Matrizen gleich? Wenn sie in jeder Stelle übereinstimmen. Das heißt u.a.:
AE+BG = EA+FC und CF+DH = GB+HD
Nun sind AE und EA gleich, ebenso DH und HD. Aus beiden Gleichungen folgt also: BG = FC, und das für alle G und F. Das kann man nur erfüllen, wenn B=C=0 gilt.
Dann heißt unsere Matrix also

A 0
0 D

und die beiden Produkte werden zu

AE AF
GD HD
bzw.
AE FD
GA HD

Die beiden Matrizen sind nur dann gleich, wenn AF=FD und GD=GA ist und zwar für alle F, G.
Das ist nur erfüllbar, wenn A=D ist.
Also heißt die gewünschte Matrix
A 0
0 A
Durch eine Probe kannst du nun noch beweisen, dass sie die Kommutativitätseigenschaft wirklich besitzt.
Mit freundlichen Grüßen
Jair

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