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Tommyd (Tommyd)
Neues Mitglied
Benutzername: Tommyd
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Dezember, 2003 - 18:39: | 
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Hallo Leute,
wer kann mir bei folgenden Aufgaben helfen:
1) Folgern Sie aus dem Primzahlsatz:
Summe(p<=x): 1/p ~ log(log(x)) für x->00
Summe(p<=x): log(p)/p ~ log(x) für x->00
(Summation über alle Primzahlen <=x)
2) Eine Partition von n natürliche Zahl ist ein k-Tupel (n_1,...,n_k) mit n_1,...,n_k natürlich, n_1+...+n_k = n, n_1 >=n_2>=...>=n_k>=1. Es bezeichne p(n) die Anzahl der Partitionen von n; p(0):= 1. Zeigen Sie:
Produkt(n=1 bis 00): (1-z^n)^(-1) = Summe(n=0 bis 00): p(n)*z^n.
Welches ist der Konvergenzradius der Potenzreihe auf der rechten Seite? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 735
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Dezember, 2003 - 14:30: |
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Tommyd,
Hinweis zu 2) : Formal ist - wenn man jeden Faktor
1/(1-zn) in eine geometrische Reihe entwickelt -
P(z) :=prod[n=1,¥](1-zn)-1 =
(1+z+z2+...)(1+z2+z4+...)(1+z3+z6+...)
.......
Alle diese Reihen konvergieren absolut für |z| < 1, man
darf sie also ausmultiplizieren und nach Potenzen von
z umordnen. Jede Partition von n trägt dabei zum
Koeffizienten von zn eine Einheit bei. Beispiel:
8 = 3 + 2+2 + 1 => z8 = z3*z4*z1,
diese Partition von 8 trägt 1 zu p(8) bei. Daher ist P(z)
die erzeugende Funktion von (p(n)), also
P(x) = S¥ n=0 p(n)zn,
und diese Reihe konvergiert für |z| < 1.
mfG Orion
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