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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3122
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 22:14: | 
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Hi allerseits
Hier kommt eine ziemlich schwierige Aufgabe;
sie trägt die Nummer LF 122.
Gegeben ist die Gleichung eines Kegels
x^2 + 4y^2 –z^2 = 0
Man suche alle Ebenen, welche den Kegel nach
Kreisen schneiden.
Gut Schnitt$
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3130
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 18:03: |
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Hi allerseits
Die Aufgabe ist schwierig, ich habe das vorausgesagt!
Daher gebe ich einen Hinweis für eine Lösung,
die als exotisch erscheinen wird, sie ist es auch!
Man drehe das Koordinatensystem um den Winkel
alpha um die x-Achse !
Man erhält neue Koordinatenachsen Y und Z an Stelle
der Achsen y und z (die x-Achse ändert nicht).
Die Hauptsache:
für alpha gelte:
[cos(alpha)] ^ 2 = a = 2 / 5
[sin (alpha)] ^ 2 = b = 3 / 5
Schreibe die Gleichung der Fläche in den neuen Koordinaten
x,Y,Z und schneide sie mit Ebenen, die zur (x,Y) - Ebene parallel sind.
Zur allgemeinen Überraschung erscheinen Schnittkreise!
Warum das funktioniert, werde ich später mitteilen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3137
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 07:08: |
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Hi allerseits
Eine weitere Hilfe:
Die Transformationsgleichungen, die zum Ziel führen, lauten:
x = X
y = a Y – b Z
z = b Y + a Z
mit a =[cos(alpha)] ^ 2 = 2 / 5 ; b = [sin (alpha)] ^ 2 = 3 / 5
(Drehung um den Winkel alpha um die x-Achse)
Es entsteht die neue Gleichung bezüglich X, Y, Z:
X^2+(4a^2 – b^2) Y^2 + (4 b^2 – a^2) Z^2 - 10 a b Y Z = 0
Ersetze die Terme, die a und b enthalten, durch
die angegebenen numerischen Werte.
Schneide sodann die Fläche mit einer zur (X,Y)-Ebene
parallelen Ebene, z.B mit Z = 5 / sqrt(6) und es entsteht
die Gleichung eines Kreises !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 969
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 19:12: |
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Hi megamath,
danke für die Transformationsgleichungen, die haben mir gefehlt ich kannte sie nur für das R^2 daher auch meine Probleme mit der Aufgabe!
Ich kann deiner Argumentation zwar folgen, aber dennoch erhalte ich keine Kreise, auch wenn ich exakt nach deinem Schema vorgehe!!
Ich komme immerwieder zu:
X^2 + 7/25 Y^2 - sqrt(6)*10 Y +16/3 = 0.
Daher hab ich mich auch noch nicht an die allgemeine Aufgabe rangetraut...
Wo liegt mein Fehler? Wie soll der gesuchte Kreis denn lauten?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3143
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 20:01: |
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Hi Ferdi,
Ich werde morgen auf die Fehlersuche gehen.
Es sollte herauskommen:
X^2 +(Y-5)^2 = 20/3.
Es ist vielleicht besser, doch zuerst den allgemeinen Fall zu lösen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3144
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 20:29: |
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Hi Ferdi
Ich glaube, ich habe den Fehler schon gefunden:
Es soll
[cos(alpha)] ^ 2 = a ^ 2 = 2 / 5
[sin (alpha)] ^ 2 = b ^ 2 = 3 / 5
heissen,
NICHT
[cos(alpha)] ^ 2 = a = 2 / 5
[sin (alpha)] ^ 2 = b = 3 / 5
Dann ist a b = sqrt(6) / 5
Als Resultat sollte erscheinen
X^2 +(Y-5)^2 = 50/3
NICHT
X^2 +(Y-5)^2 = 20/3.
Eine weitere Lösung ergibt sich, wenn
a b = - sqrt(6) / 5 gesetzt wird.
Bitte alles kontrollieren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 973
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 20:52: |
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Hi,
jetzt passt es! Ich hatte mich schon gewundert, aber jetzt ist alles geklärt...
Morgen nach Dienst werde ich mich am allgemeinen Fall versuchen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3145
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Dezember, 2003 - 21:22: |
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Hi Ferdi
und ich werde prüfen, ob sich dort (im Aufgabentext und beim Hinweis)ebenfalls ein Fehler eingenistet hat und wenn nötig,werde
diss oder jenes noch zurechtbiegen.
Bis dann
MfG
H.R.Moser,megamath |
