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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3037
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 14:07: | 
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Hi allerseits,
Als Aufgabe 104 der lockeren Folge
soll wiederum eine Ungleichung über positive ganze
Zahlen n ausdrücklich ohne Benützung der Methode
der vollständigen Induktion bewiesen werden.
Die neue Ungleichung ist das Pedant zur Ungleichung
der LF 103.
Sei R = R(n) wiederum die Summe der Reziproken
von 1 bis n für n > 1 , also
R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n.
Beweise die Ungleichung
R < n * [ (n+2) / (n+1) – 1 / {(n+1)^(1/n)} ]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3048
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 10:49: |
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Hi allerseits
Lösungshinweis zur Aufgabe LF 104:
arbeite mit dem Satz, dass für das arithmetischen Mittel A
und das geometrische Mittel G die Ungleichung A>G gilt,
und Du bist schnell am Ziel.
Wende den Satz an auf die n Zahlen
1-1/2; 1-1/3; 1-1/4;…………..;1-1/(n+1)
Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben:
1/2; 2/3; 3/4…………………………….;(n+1)/n
Nütze bei der Berechnung von G den Teleskopeffekt
aus.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3056
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 16:08: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 104 mit der Methode der
Am/Gm – Ungleichung.
A: arithmetisches Mittel: Summe aller n Zahlen / n
G: geometrisches Mittel: n-te Wurzel aus dem Produkt aller n Zahlen
A > G.
Wir wenden die Methode auf die n Zahlen
1-1/2; 1-1/3; 1-1/4;…………..;1-1/(n+1)
an.
Addiere diese n Zahlen und dividiere durch n; es kommt
A = [n – {R - 1+1/n+1}] / n = 1/n * [ n – R + 1 – 1/(n+1) ]
R ist nach wie vor die Summe der Reziproken Zahlen:
R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n.
Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben:
1/2; 2/3; 3/4…………………………….; n/(n+1)
Damit bekommst Du:
G = ½*2/3*3/4…………………………….*n/(n+1)
= [1/(n+1)] ^(1/n)
Bei dieser Berechnung von G kommt ein Teleskopeffekt
zur Geltung.
Aus der Ungleichung G < A folgt zunächst:
n / [(n+1)^(1/n)] < n – R + n / (n+1)
und nach kleiner Rechnung folgt daraus
die Behauptung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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