    
Nougatmaus (Nougatmaus)
Junior Mitglied
Benutzername: Nougatmaus
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 10:27: | 
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HILFE!!!!
Seien f: A-->B und g: B-->C zwei Abbildungen. Entscheiden sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Beweisen sie ihre antwort.
a) gof injektiv und f surjektiv => g injektiv
b) gof surjektiv und g injektiv => f surjektiv
c) f injektiv => es existiert h: B-->A Abbildung mit foh = idB
Danke schön |
Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 13:54: |
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Hallo Nougatmaus,
a) ist richtig, denn seien x,y aus B mit g(x)=g(y).
Wegen der Surjektivität von f existieren dann x',y' aus A mit x=f(x') und y=f(y').
Damit gilt g(f(x'))=g(f(y')). Aus der Injektivität von gf folgt dann x'=y', also auch x=f(x')=f(y')=y, d.h. die Injektivität von g.
b) ist richtig, den sei y aus B. Wir müssen zeigen, dass es ein x aus A gibt mit f(x)=y.
Nun ist g(y) aus C. Aufgrund der Surjektivität von gf gibt es dann ein x aus A mit g(y)=(gf)(x)=g(f(x)).
Da g injektiv ist, folgt y=f(x), was zu zeigen war.
c) ist falsch, da f nicht als surjektiv vorausgesetzt wird. Ein Gegenbeispiel ist z. B.
f: {0,1} --> {0,1,2} def. durch f(0)=0 und f(1)=1.
Jede Abbildung h: {0,1,2} --> {0,1} muss das Element 2 auf 0 oder 1 abbilden. Nachfolgende Ausführung von f liefert dann ebenfalls 0 oder 1, aber niemals 2.
Gruß
Michael |
