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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3020
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 09:59: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 98 lautet so:
In der (x,y) – Ebene ist eine Hyperbel k durch ihre
Brennpunkte F1, F2 und ihre Scheitel A, B gegeben.
(die Gerade g, auf welcher diese Punkte liegen,
heisst Fokalachse)
Gesucht wird die Ortskurve der Spitzen aller
Rotationskegel, welche die (x,y) - Ebene in der
gegebenen Hyperbel k schneiden.
Hinweis zur Lösung:
Man benütze das Ergebnis der Dreiecksaufgabe 65.
If you can't solve a problem, then there is an
easier problem you can't solve: find it.
Georg Pólya (1887-1985).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3022
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 14:42: |
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Hi allerseits
Lösungshinweise zu LF 98
Man wähle eine Kugel, welche die (x,y)-Ebene in F1 berührt.
Diese Kugel übernimmt die Rolle einer Dandelin-Kugel.
(Näheres dazu in Google, boule de Dandelin etc.).
Das gibt eine Momentaufnahme.
Durch Anwendung der Dreiecksaufgabe 65 erhält man
gute Erkenntnisse.
Schliesslich werden unendlich viele Dandelinkugeln
durch Aufblasen gewonnen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3024
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 19:19: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 98:
Die gesuchte Ortskurve ist eine Ellipse.
Sie liegt in der Normalebene zur (x,y)-Ebene
durch die Fokalachse F1 A B F2.
Dabei sind Brennpunkte und Scheitel in der Rolle
vertauscht:
Die Scheitel A , B der Hyperbel werden zu Brennpunkten
der Ellipse,
und die Brennpunkte F1 , F2 der Hyperbel werden zu Scheiteln
der Ellipse.
Hyperbel und Ellipse ,welche in diesem Zusammenhang
stehen, heißen „Fokalkegelschnitte“.
Die Herleitung dieser Tatsache gelingt mit Hilfe
der Dandelinkugeln und mit dem Ergebnis der
Dreiecksaufgabe 65.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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