| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2873
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 09:05: | 
|
Hi allerseits
In der Aufgabe LF 73 und den folgenden kommt
wiederum die Differentialgeometrie ebener Kurven
zum Zug.
Es ist die Rede von orthogonalen Trajektorien,
Kurvenscharen, von denen jede einzelne
Kurve die Kurven einer gegebenen Schar je
senkrecht schneidet.
LF 73 lautet so:
Die Kurvennormale n im laufenden Punkt P einer
Kurve k schneidet die x-Achse im Punkt N.
F ist der Fusspunkt der Senkrechten durch P
zur x-Achse auf dieser
(F liegt zwischen N und dem Nullpunkt O).
Es sollen diejenigen Kurven k bestimmt werden,
für welche der Abstand r des Punktes P von O
mit ON übereinstimmt.
Teilaufgaben
a) Ermittle die Differentialgleichung (Dgl) der Schar
solcher Kurven k.
Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Dgl.?
b) Man stelle die Dgl. der Schar der orthogonalen
Trajektorien auf, und ermittle deren allgemeine Lösung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 674
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 14:17: |
|
meagamth,
Angenommen, k lasse sich in der Form
k : y = f(x)
beschreiben. Die Normale n im variablen Kurvenpunkt
P = (u,v) = (u,f(u)) lautet
n : y = v - (x-u)/f'(u)
Sei N = (x,0), dann ist
x = u + vv' (v' := f'(u))
und es soll gelten
u + vv' = ±(u2+v2)1/2 <=>
(1/2)(d/du)(u2+v2) = ±(u2+v2) <=>
(d/du)(u2+v2)1/2 = ±1<=>
(u2+v2)1/2 = ±u + p <=>
v2 = ±2pu + p2.
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2874
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 19:58: |
|
Hallo Orion,
Hübsch,die Parabelschar mit Brennpunkt im Nullpunkt.
Gut plaziert!
Sinngemass ist auch die Integrationskonstante p bezeichnet,
sie spielt auch noch die Rolle des Parameters.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2875
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 20:24: |
|
Hi allerseits
Hinweis zur Aufgabe LF 73:
Ersetzt man in der Dgl. der Parabelschar y´ durch – 1 / y´,
so erhält man die Dgl. der orthogonalen Trajektorien.
Es wird sich herausstellen, dass die gesuchte Schar
der Trajektorien als Ganzes mit der vorhergehenden
Parabelschar identisch ist.
Man nennt daher diese Parabelschar selbst-orthogonal
(self-orthogonal).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2876
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Oktober, 2003 - 07:17: |
|
Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 73
I.
Aufstellen der Differentialgleichung aus den
geometrischen Bedingungen:
OF = x+y y´ (y y´ ist die Subnormale)
OP = sqrt (x^2+y^2) = r
Dgl:
x + y y´= r oder
x dx + y dy = r dx
andrerseits folgt aus x^2 + y^2 = r^2:
x dx + y dy = r dr
Wir schließen:
dr = dx, also dr/dx = 1, daraus durch Integration:
r = x + C mit C als Integrationskonstante.
r^2 = (x+ C) ^2 oder
y^2 = C(2x + C)
°°°°°°°°°°°°°°°
Parabel mit der x-Achse als Achse
Scheitel S(- ½C / 0)
Brennpunkt in O, Parameter der Parabel: abs(C)
Es liegt eine Schar konfokaler Parabeln
mit gemeinsamen Achsen vor.
II.
Dgl der Schar der orthogonalen Trajektorien
Ersetze in der obigen Dgl y´ durch – 1/ y´
neue Dgl nach Umformungen:
x + y y´= - r oder nach der Transformation:
dr/dx = -1, Integration mit A als Integrationskonst.:
r = - x + A, also
y^2 = - A (2x – A)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Als Ganzes entsteht
dieselbe Schar konfokaler Parabeln mit der x-Achse
als gemeinsame Achse.
Ein frappierendes Resultat !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
