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Beitrag |
    
Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 14:51: | 
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Hallo,
ich habe ähnliche Probleme wie Stella,
die heute morgen eine hübsche
Aufgabe ins Forum gestellt hat.
Ich habe versucht, eine Aufgabe aus dem Lehrbuch
Storch/Wiebe zu lösen, die mit Teleskopsumme
überschrieben ist.
Kein Teleskop in Sicht, weit und breit.
Da das Buch leider keine Lösungen enthält, bin
ich auf Hilfe angewiesen.
Das allgemeine Glied der Reihe lautet:
an = n / (n +1) !
a) Summation von n = 0 bis N
b) Summation von n = 0 bis unendlich
Für Lösungshilfen bin ich sehr dankbar
Mit freundlichen Grüßen
Emil k.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2748
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 16:16: |
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Hi Emil,
Dir kann geholfen werden.
Mit einem Trick, das ist meistens nötig, wenn das Stichwort
„Teleskopsumme“ fällt.
In Deinem Fall sollst Du nur ein bisschen umformen, etwa
nach dem Muster:
M / (M+1)! = [ (M+1) -1] / (M + 1) ! = 1 / M ! – 1 / (M+1)!
a)
Wir schreiben die Reihe der an an (hihi) bis zu n = N
und verwenden dabei die angegeben Formel, es entsteht:
s(N) = 0/1!+1/2!+2/3! + 3/4! +……N/(N+1)!
= 1/0!-1/1!+1/1!-1/2!+………………+ 1/N ! – 1/(N+1)!
(da hebt sich Einiges weg: das ist so beim Teleskopieren!)
= 1 - 1 / (N+1)!
b)
Der Grenzwert von sn für n gegen unendlich
und damit die Summe S der Reihe ist S = 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Carpediem (Carpediem)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 16:32: |
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Genial, Megamath. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2749
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 17:37: |
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Hi Carpediem
ich danke für die Blumen(gratias tibi ago pro floribus)!
Manchmal hat man einfach Glück beim
Umformen.
MfG
H.R.Moer,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2750
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 19:26: |
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Hi Emil,
Im selben Lehrbuch habe ich ein einfacheres Beispiel
zum Thema Teleskopsumme gefunden.
Es lautet:
Ermittle sum [1/ (4 k^2 – 1 )],
a)
k = 1 bis N
b)
k =1 bis unendlich
Lösung
Wir formen an = [1/ (4 k^2 – 1 )] um:
an = 1 /[(2k -1)(2k+1)] =
½ { 1/ (2n – 1) – 1 / (2n + 1) }
a)
Durch Addition für n = 1 bis N entsteht:
½ {1 – 1 / (2N+1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b)
Summe der unendlichen Reihe: S = ½
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2751
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 21:46: |
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Hi Emil,
Zum Abschluss der Abenteuer mit Teleskopreihen
noch ein Leckerbissen:
Man beweise
sum [k * (k+1) ] = 1/3 * n * (n+1)*(n+2)
(der Summationsindex k läft von 1 bis n)
Lösung
Bezeichnungen:
a(k) = k * (k+1)
b(k) = k * (k+1)*(k+2)
Berechne c(k) = b(k) – b(k-1):
c(k) = k*(k+1)*(k+2) – (k-1)* k*(k+1) =3 k*(k+1) =3* a(k)
Also:
a(k) = 1/3 {b(k) – b(k-1)}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nun geht der Teleskop-Reigen los, Zeile um Zeile:
a(n) = 1/3 {b(n) – b(n-1)}
a(n-1) = 1/3 {b(n-1) – b(n-2)}
a(n-2) = 1/3 {b(n-2) – b(n-3)}
a(n-3) = 1/3 {b(n-3) – b(n-4)}
………………………..
a(1) = 1/3 {b(1) – b(0)} ……..NB b(0) = 0
Addiere links und rechts, schau, wie sich Terme wegheben:
was bleibt?
sum [a(n)] = 1/3 * {b(n) – b(0)} =1/3 b(n) ,q.e.d.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 09:40: |
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Hallo megamath,
Für Deine wertvolle Hilfe möchte ich
Dir herzlich danken !
Sie hat mir sehr viel geholfen.
Mit freundlichen Grüßen
Emil
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