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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2626
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 07:19: | 
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Hi allerseits
In der Nummer XXXI der lockeren Folge ist wiederum
ein Integral Schritt für Schritt von Hand (händisch,hihi)
zu berechnen.
Der Integrand lautet:
f(x) = 1 / ( 1 + x ^ 3 )
a) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x)
b) Berechne das zugehörige uneigentliche Integral:
untere Grenze 1, obere Grenze unendlich.
c) Berechne das bestimmte Integral über f(x),
untere Grenze 1/n, obere Grenze 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 879
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:29: |
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Hi,
gleich weiter im Text!
a)Auch hier hilft die Partialbruchzerlegung:
A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1)
liefert: A=1/3 , B=-1/3 , C=2/3
Dann muss man im zweiten Integral einwenig umformen, man erhält dann einen ln und einen arctan Term,
schliesslich:
F(x) = (1/6) * ln[ (x^2+2x+1)/(x^2-x+1) ] + 1/sqrt(3) * arctan [(2x-1)/sqrt(3)]
b) I = pi/(3*sqrt(3)) - (1/6)*ln(4) ~ 0,3736
c) I = (1/6) * (ln(4) + pi/sqrt(3)) - (1/6) * ln[ ((1/n)^2+2(1/n)+1)/((1/n)^2-(1/n)+1) ] + 1/sqrt(3) * arctan [(2(1/n)-1)/sqrt(3)]
Würde man hier lim n-> inf gehen lassen, würde sich auch ein Wert ergeben: I = (1/6) * [ln(4) + 2*pi/(sqrt(3))] ~ 0,8357
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2633
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 16:06: |
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Hi Ferdi,
Deine Berechnungen sind alle richtig,bravo!
Das Resultat für c) stimmt für n gegen unendlich mit dem Integral über f(x),
untere Grenze 0,obere Grenze 1
überein
MfG
H.R.Moser,megamath |
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