| Autor |
Beitrag |
    
Tantor (Tantor)
Mitglied
Benutzername: Tantor
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 18:42: | 
|
Hallo,
ich soll die Determinante einer Matrix A bestimmen der Elemente wie folgt aussehen
aij=i+j-1 i,j=1,...,n ; n e N
das Ding ist ja letzten Endes eine symmetrische Matrix, aber wie bestimme ich deren Determinante???? Weiß jemand Rat ? |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 815
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 20:29: |
|
Hi!
Ich bezeichne im Folgenden mit An die nxn-Matrix, die nach deiner Bildungsvorschrift gebildet wird.
Für A1 gilt: det A1 = 1.
Für A2 gilt: det A2 = -1. (einfach nachrechnen!)
Für alle n>2 gilt: det An = 0.
Letzteres müsste man nun per Induktion (?) beweisen. Falls mir etwas dazu einfällt, lasse ich es dich wissen...
MfG
Martin |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 817
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 21:32: |
|
Ach, es geht sogar einfacher.
Wir wissen, dass die Determinante ihren Wert nicht ändert, wenn man das Vielfache einer Reihe von einer anderen abzieht. Außerdem wissen wir, dass die Determinante gleich Null ist, wenn zwei Reihen gleich oder zumindest proportional zueinander sind.
Nun nehmen wir also die Matrix An mit n>2 (das ganze klappt eben erst ab 3x3).
Nun ziehen wir von der n-ten Spalte die (n-1)-te Spalte ab.
Gleich danach ziehen wir von der (n-1)-ten Spalte die (n-2)-te Spalte ab. Das geht, weil ja n>2 ist.
Beispiel:
A4= --> -->
Wir haben nun eine Matrix, in der die beiden letzten Spalten gleich sind, genauer: Sie bestehen aus lauter Einsen. Also ist die Determinante dieser Matrix, die natürlich gleich der Determinante von An ist, gleich Null.
Wir können natürlich in einem nächsten Schritt die neue (n-1)-te Einserspalte von der n-ten Einserspalte abziehen, so dass wir eine Spalte voller Nullen bekommen. Natürlich ist klar, dass wir 0 herausbekommen, wenn wir nach dieser Spalte entwickeln.
Ich denke, das müsste reichen. Wenn nicht, wird es kein Problem sein, das Ganze etwas formaler zu machen. Dabei sollte man sich einfach nur auf die Bildungsvorschrift von An stützen.
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 29., Oktober. 2003 von Martin243 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2884
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 21:40: |
|
Hi Tentor,Hi Martin
Die Aufgabe ist schon richtig gelöst!
Ein Beweis mit vollständiger Induktion ist
übungshalber zu empfehlen.
Es geht auch anders,nämlich
durch elementare Zeilenumformungen:
subtrahiere die Elemente der ersten Zeile von
denjenigen der zweiten, die Elemente der zweiten
Zeile von denjenigen der dritten usw.
Du bekommst von n = 3 an jeweils Determinanten
mit lauter Einsen in verschiedenen Zeilen,
wie in einem guten Zeugnis.
Solche Determinanten sind nach einem Determinantensatz
NULL.
Die vorliegende Determinante ist ein Sonderfall einer so
genannten Hankelschen Determinante, in denen die Elemente
nach dem Prinzip arithmetischer Folgen gebildet werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
