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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2517
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. August, 2003 - 21:13: | 
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Hi allerseits,
Zur Auflockerung gibt’s für heute Nacht die
Nummer XXVII der Lockeren Folge:
a(n) = (-1)^(n-1) * 2n / ( 2n-1) *[tan x] ^ (2n-1)
ist das allgemeine Glied einer unendlichen Reihe
Der Summationsindex n läuft von n = 1 ad infinitum.
a)
Für welche Werte x konvergiert die Reihe?
b)
Stelle die Summe S als Funktion von x dar;
S = S(x) ist ein einfaches Aggregat bekannter Funktionen.
Wie sieht diese Funktion aus?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 640
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 09:39: |
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Hallo megamath,
Die Methode des scharfen Hinsehens lässt
(nach einiger Zeit !)erkennen, dass
2n/(2n-1) = 1 + 1/(2n-1),
daher F(z):=
S¥ n=1 (-1)n-1(2n/(2n-1)) z2n-1
= arctan z + z/(1+z2) , |z| < 1.
Somit
S(x) = F(tan x) =x + tan x /(1+(tanx)2)
= x + cos x sin x, |x| < p/4.
mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2518
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 09:49: |
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Hi, Orion
Danke !
Genau so war es gemeint.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2521
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 21:13: |
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Hi allerseits,
Orion hat sehr souverän gezeigt, wie die Aufgabe gelöst
werden kann, welches der Konvergenzbereich und welches
die Summe ist.
Im Interesse unserer Anfänger möchte ich etwas weiter
ausholen:
Zunächst wird der Bruch Q =2n / ( 2n-1) so zerlegt, wie das
ansonsten, etwa in der Integralrechnung, usus ist:
Q = [ (2n-1) + 1] / (2n-1) = 1 + 1/ (2n – 1)
Damit zerfallt unsere Reihe in zwei Reihen mit den
allgemeinen Gliedern b(n) und c(n), wobei gilt:
b(n) = (-1) ^ (n-1) [tan x] ^ (2n-1)
c(n) = (-1) ^ (n-1) * 1 / ( 2n-1) *[tan x] ^ (2n-1)
Wir berechnen die Summen s1 und s2 dieser einzelnen
Reihen und setzen alles am Schluss wieder zusammen.
Wir gehen also nach dem Motto vor
„divide et impera“, teile und herrsche.
Reihe der b(n)
Es liegt eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied
a = tan x und dem Quotienten q = - [tan x ]^2 vor
Die Summe ist s1 = a / (1- q) = tan x / [1 + (tan x)^2 ]
s1 = sin x * cos x
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Konvergenzbedingung:
Abs (q) = tan^2 (x) < 1, d. h. - ¼ Pi < x < ¼ Pi.
Reihe der c(n)
Diese geht aus der bekannten Reihe des Arcustanges hervor;
bekanntlich ist
arc tan u = u –u^3/3 + u^5/5 – x^7/7+-….
abs(u) < = 1
setze nun arc tan u = x , also u = tan x und Du hast
ein schönes AHA-Erlebnis
Die Summe der c-Reihe ist x.,also
s2 = x
°°°°°°
Damit ist das Nötigste gesagt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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